[5,0 pontos] Determine a área de superfície da parte da superfície z=x^{2}+2 y que fica acima da região triangular T no plano x y com vértices (0,0),(1,0) e (1,1), sabendo-se que área da superfície com equação z=f(x, y),(x, y) \in D, onde f_{x} e f_{y} são contínuas, é
A(S)=\iint \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície definida por z=x^{2}+2y que fica acima do triângulo T no plano xy com vértices (0,0), (1,0) e (1,1).
Informações relevantes dadas:
  • A superfície é z=f(x,y) com f(x,y)=x^{2}+2y.
  • A fórmula para a área da superfície é
A(S)=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}\,dA,
onde D é a região do domínio no plano xy (aqui D=T).
  • A região triangular T tem vértices (0,0),(1,0),(1,1). Precisamos traduzir isso em limites de integração.

Passo 2

Descrever a região triangular T com limites de integração. A reta que liga (0,0) a (1,1) tem equação y=x. As arestas são y=0 (base), x=1 (lado vertical) e y=x (hipotenusa). Para cada x entre 0 e 1, o y vai de 0 até x. Assim podemos descrever
T=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\\\ 0\le y\le x\}.
(Escolhi esta ordenação porque é natural integrar primeiro em y quando a região é dada por 0\le y\le x.)

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+2y. Isso é direto:
\frac{\partial z}{\partial x}=f_x=2x,\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=f_y=2.
Breve explicação didática: derivada parcial em x trata y como constante, então \partial/\partial x de x^2 é 2x e de 2y é 0. Derivada parcial em y trata x como constante, então \partial/\partial y de 2y é 2 e de x^2 é 0.

Passo 4

Montar o integrando usando a fórmula da área:
\sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2}=\sqrt{1+(2x)^2+2^{2}}=\sqrt{1+4x^{2}+4}=\sqrt{5+4x^{2}}.
Portanto a área é
A=\iint_{T}\sqrt{5+4x^{2}}\,dA.
Usando os limites de T (integração em y primeiro),
A=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{x}\sqrt{5+4x^{2}}\,dy\right)dx.

Passo 5

Como o integrando \sqrt{5+4x^{2}} não depende de y, a integral interna em y é simplesmente multiplicar pelo comprimento do intervalo em y, que é x-0=x. Assim
A=\int_{0}^{1} x\sqrt{5+4x^{2}}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1} x\sqrt{5+4x^{2}}\,dx por substituição. Faça a substituição
u=5+4x^{2}\quad\Rightarrow\quad du=8x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{8}.
Quando x=0 temos u=5. Quando x=1 temos u=9. Então
A=\int_{u=5}^{9}\sqrt{u}\,\frac{du}{8}=\frac{1}{8}\int_{5}^{9}u^{1/2}\,du.
Integrando:
\frac{1}{8}\cdot\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_{5}^{9}=\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\left(u^{3/2}\right)\bigg|_{5}^{9}=\frac{1}{12}\left(9^{3/2}-5^{3/2}\right).
Calcular 9^{3/2} e 5^{3/2}: 9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27 e 5^{3/2}=(\sqrt{5})^{3}=5\sqrt{5}. Logo
A=\frac{1}{12}\left(27-5\sqrt{5}\right)=\frac{27-5\sqrt{5}}{12}.

Resposta

\dfrac{27-5\sqrt{5}}{12}

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