[5,0 pontos] Determine a área de superfície da parte da superfície z=x^{2}+2 y que fica acima da região triangular T no plano x y com vértices (0,0),(1,0) e (1,1), sabendo-se que área da superfície com equação z=f(x, y),(x, y) \in D, onde f_{x} e f_{y} são contínuas, é
onde D é a região do domínio no plano xy (aqui D=T).
A região triangular T tem vértices (0,0),(1,0),(1,1). Precisamos traduzir isso em limites de integração.
Passo 2
Descrever a região triangular T com limites de integração. A reta que liga (0,0) a (1,1) tem equação y=x. As arestas são y=0 (base), x=1 (lado vertical) e y=x (hipotenusa). Para cada x entre 0 e 1, o y vai de 0 até x. Assim podemos descrever
T=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\\\ 0\le y\le x\}.
(Escolhi esta ordenação porque é natural integrar primeiro em y quando a região é dada por 0\le y\le x.)
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+2y. Isso é direto:
Breve explicação didática: derivada parcial em x trata y como constante, então \partial/\partial x de x^2 é 2x e de 2y é 0. Derivada parcial em y trata x como constante, então \partial/\partial y de 2y é 2 e de x^2 é 0.
Como o integrando \sqrt{5+4x^{2}} não depende de y, a integral interna em y é simplesmente multiplicar pelo comprimento do intervalo em y, que é x-0=x. Assim
A=\int_{0}^{1} x\sqrt{5+4x^{2}}\,dx.
Passo 6
Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1} x\sqrt{5+4x^{2}}\,dx por substituição. Faça a substituição