[5,0 pontos] O limite de uma lâmina consiste nos semicírculos y=\sqrt{1-x^{2}} e y=\sqrt{4-x^{2}} juntamente com as partes do eixo x que os une. Encontre o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distância da origem, e sabendo-se que as coordenadas (\bar{x}, \bar{y}) do centro de massa de uma lâmina ocupando a regiāo D e tendo função densidade \rho(x, y) são
\bar{x}=\frac{1}{m} \iint_{D} x \rho(x, y) d A
\bar{y}=\frac{1}{m} \iint_{D} \rho(x, y) d A
em que a massa m é dada por
m=\iint \rho(x, y) d A
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
A lâmina (região D) é a região entre os dois semicírculos acima do eixo x dados por
juntamente com as partes do eixo x que os unem. Ou seja, é o “anel semicircular” com raio interno 1 e externo 2, para y\ge 0. (Da região segue que, em coordenadas polares, r varia de 1 a 2 e \theta varia de 0 a \pi.)
A densidade em qualquer ponto é inversamente proporcional à distância à origem; portanto podemos escrever
\rho(x,y)=\frac{k}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
para alguma constante positiva k (constante de proporcionalidade).
O enunciado fornece as fórmulas gerais do centro de massa (corrigindo a fórmula de \bar{y}, que deve envolver y):
Simplificando o integrando \frac{k}{r}\cdot r = k, temos
m=\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} k\,dr\,d\theta.
Integramos em r primeiro:
\int_{1}^{2} k\,dr = k(2-1)=k.
Agora em \theta:
m=\int_{0}^{\pi} k\,d\theta = k\pi.
Conclusão: \;m=k\pi. Observação útil: o fator k é uma constante multiplicativa que normalmente cancela no cálculo das coordenadas do centro de massa, então não precisamos conhecer seu valor numérico.
Passo 4
Calcular \bar{x} (método e execução passo a passo):
Mas \displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{\pi}=0. Portanto a integral do numerador é 0.
Assim
\bar{x}=\frac{0}{m}=0.
(Como esperado por simetria: a região é simétrica em relação ao eixo y, e a densidade depende apenas de r, logo o centro de massa tem coordenada x nula.)
Passo 5
Calcular \bar{y} (método e execução passo a passo):
Assim o numerador vale k\cdot\frac{3}{2}\cdot 2 = 3k.
Dividindo pelo valor de m=k\pi encontrado no Passo 3:
\bar{y}=\frac{3k}{k\pi}=\frac{3}{\pi}.
Observe que o k cancela, como previsto.
Passo 6
Interpretação rápida e checagem:
Resultado obtido é \bar{x}=0 e \bar{y}=\dfrac{3}{\pi}.
Numericamente \dfrac{3}{\pi}\approx 0{,}9549, que está entre 1 e 0, razoável porque a região ocupa alturas até y=2 (no raio exterior) mas tem mais massa mais próximo de r grande? De todo modo, valor faz sentido qualitativo.
Motivação final: a simetria e o uso de coordenadas polares tornaram as integrais simples; a dependência radial da densidade cancelou o fator r do jacobiano, simplificando os cálculos.