[5,0 pontos] O limite de uma lâmina consiste nos semicírculos y=\sqrt{1-x^{2}} e y=\sqrt{4-x^{2}} juntamente com as partes do eixo x que os une. Encontre o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distância da origem, e sabendo-se que as coordenadas (\bar{x}, \bar{y}) do centro de massa de uma lâmina ocupando a regiāo D e tendo função densidade \rho(x, y) são
\bar{x}=\frac{1}{m} \iint_{D} x \rho(x, y) d A
\bar{y}=\frac{1}{m} \iint_{D} \rho(x, y) d A
em que a massa m é dada por
m=\iint \rho(x, y) d A

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A lâmina (região D) é a região entre os dois semicírculos acima do eixo x dados por
y=\sqrt{1-x^{2}} \qquad\text{e}\qquad y=\sqrt{4-x^{2}},
juntamente com as partes do eixo x que os unem. Ou seja, é o “anel semicircular” com raio interno 1 e externo 2, para y\ge 0. (Da região segue que, em coordenadas polares, r varia de 1 a 2 e \theta varia de 0 a \pi.)
  • A densidade em qualquer ponto é inversamente proporcional à distância à origem; portanto podemos escrever
\rho(x,y)=\frac{k}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
para alguma constante positiva k (constante de proporcionalidade).
  • O enunciado fornece as fórmulas gerais do centro de massa (corrigindo a fórmula de \bar{y}, que deve envolver y):
\bar{x}=\frac{1}{m}\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA, \qquad \bar{y}=\frac{1}{m}\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA,
onde a massa é
m=\iint_{D} \rho(x,y)\,dA.
  • Pedido: calcular \bar{x} e \bar{y} para a lâmina descrita.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares e como passar para elas (aula rápida):
  • A densidade depende só da distância ao origem \sqrt{x^{2}+y^{2}}; isso sugere coordenadas polares, onde a distância ao origem é simplesmente r.
  • Mudança para polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. A área elemental transforma-se como
dA = r\,dr\,d\theta.
Isso vem do fato geométrico de que um pequeno “setor” tem área aproximada r\,dr vezes \,d\theta.
  • Os limites da região em polares, conforme observado no Passo 1, são
1\le r\le 2,\qquad 0\le\theta\le\pi.

Passo 3

Calcular a massa m:
  • Escrevendo \rho em polares: \rho(r,\theta)=\dfrac{k}{r} porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.
  • A massa é
m=\iint_{D}\rho\,dA=\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}\frac{k}{r}\cdot r\,dr\,d\theta.
  • Simplificando o integrando \frac{k}{r}\cdot r = k, temos
m=\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} k\,dr\,d\theta.
  • Integramos em r primeiro:
\int_{1}^{2} k\,dr = k(2-1)=k.
  • Agora em \theta:
m=\int_{0}^{\pi} k\,d\theta = k\pi.
Conclusão: \;m=k\pi. Observação útil: o fator k é uma constante multiplicativa que normalmente cancela no cálculo das coordenadas do centro de massa, então não precisamos conhecer seu valor numérico.

Passo 4

Calcular \bar{x} (método e execução passo a passo):
  • Fórmula em polares:
\bar{x}=\frac{1}{m}\iint_{D} x\,\rho\,dA = \frac{1}{m}\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} (r\cos\theta)\left(\frac{k}{r}\right) r\,dr\,d\theta.
  • Simplificando o integrando: (r\cos\theta)\cdot\frac{k}{r}\cdot r = k r\cos\theta.
  • Então
\iint_{D} x\,\rho\,dA = k\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} r\cos\theta\,dr\,d\theta.
  • Integramos em r:
\int_{1}^{2} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{1}^{2}=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}.
  • Logo a integral fica
k\cdot\frac{3}{2}\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta.
  • Mas \displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{\pi}=0. Portanto a integral do numerador é 0.
  • Assim
\bar{x}=\frac{0}{m}=0.
(Como esperado por simetria: a região é simétrica em relação ao eixo y, e a densidade depende apenas de r, logo o centro de massa tem coordenada x nula.)

Passo 5

Calcular \bar{y} (método e execução passo a passo):
  • Fórmula:
\bar{y}=\frac{1}{m}\iint_{D} y\,\rho\,dA = \frac{1}{m}\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} (r\sin\theta)\left(\frac{k}{r}\right) r\,dr\,d\theta.
  • Simplificando o integrando: (r\sin\theta)\cdot\frac{k}{r}\cdot r = k r\sin\theta.
  • Então
\iint_{D} y\,\rho\,dA = k\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} r\sin\theta\,dr\,d\theta.
  • Integramos em r (mesmo que no caso de \bar{x}):
\int_{1}^{2} r\,dr = \frac{3}{2}.
  • Portanto o numerador é
k\cdot\frac{3}{2}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.
  • Calculamos a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \left.-\cos\theta\right|_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1)+1 = 2.
  • Assim o numerador vale k\cdot\frac{3}{2}\cdot 2 = 3k.
  • Dividindo pelo valor de m=k\pi encontrado no Passo 3:
\bar{y}=\frac{3k}{k\pi}=\frac{3}{\pi}.
Observe que o k cancela, como previsto.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem:
  • Resultado obtido é \bar{x}=0 e \bar{y}=\dfrac{3}{\pi}.
  • Numericamente \dfrac{3}{\pi}\approx 0{,}9549, que está entre 1 e 0, razoável porque a região ocupa alturas até y=2 (no raio exterior) mas tem mais massa mais próximo de r grande? De todo modo, valor faz sentido qualitativo.
  • Motivação final: a simetria e o uso de coordenadas polares tornaram as integrais simples; a dependência radial da densidade cancelou o fator r do jacobiano, simplificando os cálculos.

Resposta

\bar{x}=0
\bar{y}=\dfrac{3}{\pi}

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