[5] Resolva o sistema:
(cc 1 & 0.98 1 & 1 )binomx1x2=binom4.955
pelor método de Gauss-Seidel. Trabalhe com pelo menos três algarismos significativos e considere x^(0)= (0,0), uma precisão epsilon=0.01 e o número máximo de iterações igual a 5 . Faça a interpretação geométrica.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
pede para resolver pelo método de Gauss–Seidel com chute inicial , precisão e no máximo 5 iterações. Conteúdo: iteração de Gauss–Seidel para sistemas lineares e avaliação de convergência.

Passo 2

Das equações
1.º x1 +0,98,x2=4,95 x1=4,95-0,98,x21=4,95-0,98,x2,
2.º x1 +x2=5 x2=5-x1
No Gauss–Seidel cada nova x1^(k+1) usa x2^(k) e x2^(k+1) usa x1^(k+1).

Passo 3

Executando até 5 iterações e calculando o erro |x^(k+1)-x^(k)|infty:
k=1:
x1^(1)=4,95-0,98cdot0,00=4,9500,
x2^(1)=5-4,9500=0,0500,
erro =max(|4,9500-0|,|0,0500-0|)=4,9500.
k=2:
x1^(2)=4,95-0,98cdot0,0500=4,9010,
x2^(2)=5-4,9010=0,0990,
erro =|4,9010-4,9500|=0,0490.
k=3:
x1^(3)=4,95-0,98cdot0,0990=4,8530,
x2^(3)=5-4,8530=0,1470,
erro =|4,8530-4,9010|=0,0480.
k=4:
x1^(4)=4,95-0,98cdot0,1470=4,8059,
x2^(4)=5-4,8059=0,1941,
erro =|4,8059-4,8530|=0,0471.
k=5:
x1^(5)=4,95-0,98cdot0,1941=4,7598,
x2^(5)=5-4,7598=0,2402,
erro =|4,7598-4,8059|=0,0461.
Em nenhuma destas iterações o erro ficou abaixo de epsilon=0,01.

Passo 4

Geometricamente, cada iteração do Gauss–Seidel em R^2 é a interseção sucessiva de retas: primeiro projetamos verticalmente o ponto atual sobre a reta x1+0,98,x2=4,95 (para atualizar x1), depois projetamos horizontalmente sobre x1+x2=5 (para atualizar x2). Como as retas são quase paralelas (coeficientes muito parecidos), essas projeções avançam muito lentamente em direção ao ponto de interseção verdadeiro, e em 5 iterações a tolerância não é atingida.

Resposta

Após 5 iterações o método não atingiu a precisão epsilon=0,01. A aproximação é
x^(5) = 4,7598[6pt]0,2402 ]

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