[2] Considere o sistema linear,
r x1+x2+4 x3+x4=2 x2+2 x3+4 x4=9 2 x1+4 x2-x3=2 5 x1+x2+x3+2 x4=0
(a) Faça trocas na ordem das equações para que o método iterativo tenha a convergência garantida.
(b) Faça três iterações método de Jacobi, partindo da aproximação inicial nula.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x1+x2+4x3+x4=2, x2+2x3+4x4=9, 2x1+4x2-x3=2, 5x1+x2+x3+2x4=0,
e pede (a) reordenar as equações para garantir convergência do método de Jacobi e (b) fazer três iterações de Jacobi começando de x^(0)=(0,0,0,0). Para garantir convergência, vamos buscar uma forma estritamente diagonalmente dominante por linhas.

Passo 2

Escolhemos uma ordem das equações tal que, em cada linha i, o coeficiente aii satisfaça
lvert aiirvert>sumjneq ilvert aijrvert
Uma escolha que funciona é permutar as equações na ordem
&5x1+x2+x3+2x4=0, &2x1+4x2-x3=2, &x1+x2+4x3+x4=2, &x2+2x3+4x4=9
Verificando a dominância linha a linha:
linha 1: lvert5rvert>1+1+2,
linha 2: lvert4rvert>2+1+0,
linha 3: lvert4rvert>1+1+1,
linha 4: lvert4rvert>0+1+2.

Passo 3

Da forma reordenada, escrevemos as fórmulas de iteração de Jacobi isolando cada xi:
x1^(k+1)&=-x2^(k)-x3^(k)-2x4^(k)5, x2^(k+1)&=2-2x1^(k)+x3^(k)4, x3^(k+1)&=2 - x1^(k) - x2^(k) - x4^(k)4, x4^(k+1)&=9 - x2^(k) - 2x3^(k)4

Passo 4

Iteração 1, com x^(0)=(0,0,0,0):
x1^(1)&=-0-0-2cdot05=0, x2^(1)&=2-2cdot0+04=0,5, x3^(1)&=2-0-0-04=0,5, x4^(1)&=9-0-2cdot04=2,25

Passo 5

Iteração 2, usando x^(1)=(0,,0,5,,0,5,,2,25):
x1^(2)&=-0,5-0,5-2cdot2,255=-1,1, x2^(2)&=2-2cdot0+0,54=0,625, x3^(2)&=2-0-0,5-2,254=-0,1875, x4^(2)&=9-0,5-2cdot0,54=1,875

Passo 6

Iteração 3, usando x^(2)=(-1,1,,0,625,,-0,1875,,1,875):
x1^(3)&=-0,625-(-0,1875)-2cdot1,8755=-0,8375, x2^(3)&=2-2(-1,1)+(-0,1875)4=1,003125, x3^(3)&=2-(-1,1)-0,625-1,8754=0,15, x4^(3)&=9-0,625-2(-0,1875)4=2,1875

Resposta

(a) A ordem das equações para obter dominância diagonal é
5x1+x2+x3+2x4&=0, 2x1+4x2-x3&=2, x1+x2+4x3+x4&=2, x2+2x3+4x4&=9
(b) As três primeiras aproximações pelo método de Jacobi, a partir de x^(0)=(0,0,0,0), são
x^(1)=(0,;0,5,;0,5,;2,25), x^(2)=(-1,1,;0,625,;-0,1875,;1,875), x^(3)=(-0,8375,;1,003125,;0,15,;2,1875)

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