50 \% Considere uma partícula pequena e esférica de raio r localizada no espaço a uma distância R do Sol. (a) Mostre que a razão F_{\text {rad }} / F_{\text {grav }} é proporcional a 1 / r, onde F_{\text {rad }} é a força exercida pela radiação solar e F_{\text {grav }} é a força da atração gravitacional. (b) O resultado do item (a) significa que, para um valor suficientemente pequeno de r, a força exercida sobre a partícula pela radiação solar excede a força da atração gravitacional. Calcule o valor de r para o qual a partícula está em equilíbrio sob as duas forças. (Suponha que a partícula tem uma superficie absorvedora perfeita e densidade de massa de 1,50 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Considere que a partícula está localizada a 3,75 \times 10^{11} \mathrm{~m} do Sol e use 214 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} como o valor da intensidade solar nesse ponto.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Intensidade solar no ponto: I=214\\ \mathrm{W/m^{2}}.
    • Distância da partícula ao Sol: R=3{,}75\times10^{11}\\ \mathrm{m}.
    • Partícula esférica e pequena, raio r (variável a determinar).
    • A partícula é um absorvedor perfeito (isto afeta a pressão da radiação).
    • Densidade da partícula: \rho = 1{,}50\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Constantes necessárias (valores numéricos que usarei):
    • Velocidade da luz: c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    • Constante gravitacional: G=6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
    • Massa do Sol: M_{\odot}=1{,}98847\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.
  • O enunciado pede:
    (a) mostrar que \dfrac{F_{\text{rad}}}{F_{\text{grav}}} é proporcional a 1/r;
    (b) encontrar o valor de r (em metros) para o qual as duas forças se equilibram (isto é, \,F_{\text{rad}}=F_{\text{grav}}\,).

Passo 2

Entendendo a força devida à radiação solar (no caso de absorvedor perfeito).
  • Intensidade I é potência por área (unidade \mathrm{W/m^{2}}). A radiação que incide sobre a partícula exerce uma pressão de radiação.
  • Para uma superfície que absorve perfeitamente a luz, a pressão de radiação vale
P_{\text{rad}}=\frac{I}{c}.
Explicação curta: energia por tempo por área transporta momento; para absorção completa a pressão é I/c. (Se fosse reflexão perfeita, seria 2I/c.)
  • A força de radiação sobre a partícula é essa pressão multiplicada pela área de projeção da esfera (a área “vista” pela luz), que é a área do círculo de raio r:
F_{\text{rad}} = P_{\text{rad}}\times(\text{área de seção}) = \frac{I}{c}\cdot \pi r^{2}.áçã
Aqui defini explicitamente cada símbolo usado:
  • I = intensidade solar no local,
  • c = velocidade da luz,
  • r = raio da partícula,
  • \pi r^{2} = área de seção transversal da esfera.

Passo 3

Entendendo a força gravitacional sobre a partícula.
  • A força gravitacional que o Sol exerce numa massa m a distância R é dada pela lei da gravitação de Newton:
F_{\text{grav}} = \frac{G M_{\odot} m}{R^{2}},
onde G é a constante gravitacional e M_{\odot} é a massa do Sol.
  • A massa m da partícula esférica é dada por sua densidade vezes seu volume:
m = \rho \cdot V = \rho \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r^{3}\right),
onde \rho é a densidade da partícula.
  • Substituindo m em F_{\text{grav}} obtemos:
F_{\text{grav}} = \frac{G M_{\odot}}{R^{2}}\cdot \left(\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}\right) = \frac{4}{3}\pi G M_{\odot}\rho \frac{r^{3}}{R^{2}}.

Passo 4

Calcular a razão \dfrac{F_{\text{rad}}}{F_{\text{grav}}} simbolicamente e mostrar a dependência em r.
  • Usando as expressões dos passos anteriores:
\frac{F_{\text{rad}}}{F_{\text{grav}}} = \frac{\dfrac{I}{c}\pi r^{2}}{\dfrac{4}{3}\pi G M_{\odot}\rho \dfrac{r^{3}}{R^{2}}}.
  • Simplificando a expressão: cancele \pi, cancele r^{2} com parte de r^{3}, e organize os fatores:
\frac{F_{\text{rad}}}{F_{\text{grav}}} = \frac{I}{c}\cdot \frac{R^{2}}{\dfrac{4}{3}G M_{\odot}\rho r} = \frac{3 I R^{2}}{4 c G M_{\odot}\rho}\cdot\frac{1}{r}.
  • Conclusão do item (a): a razão \dfrac{F_{\text{rad}}}{F_{\text{grav}}} é proporcional a \dfrac{1}{r}, pois todos os outros fatores ( I,R,c,G,M_{\odot},\rho ) são independentes de r.

Passo 5

Achar o raio r de equilíbrio (item (b)): condição \,F_{\text{rad}}=F_{\text{grav}}\,.
  • A condição de equilíbrio é \dfrac{F_{\text{rad}}}{F_{\text{grav}}}=1. A partir da fórmula do passo anterior:
1 = \frac{3 I R^{2}}{4 c G M_{\odot}\rho}\cdot\frac{1}{r}.
  • Isolando r:
r = \frac{3 I R^{2}}{4 c G M_{\odot}\rho}.
Essa é a fórmula que nos dá o raio crítico a partir dos parâmetros físicos.

Passo 6

Conversões e valores numéricos; cálculo passo a passo.
  • Converter a densidade para unidades SI:
\rho = 1{,}50\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1{,}50\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 1500\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Substituir os números na fórmula
r = \frac{3 \, I \, R^{2}}{4 \, c \, G \, M_{\odot} \, \rho}.
  • Primeiro calcule R^{2}:
R^{2} = (3{,}75\times10^{11}\\ \mathrm{m})^{2} = 1{,}40625\times10^{23}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calcule o numerador N=3 I R^{2}:
N = 3\times 214\\ \mathrm{W/m^{2}}\times 1{,}40625\times10^{23}\\ \mathrm{m^{2}} = 9{,}028125\times10^{25}\\ \mathrm{W\cdot m}.
  • Calcule o denominador D=4 c G M_{\odot}\rho:
G M_{\odot} \approx 6{,}67430\times10^{-11}\times 1{,}98847\times10^{30} = 1{,}327185\times10^{20}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}}.
G M_{\odot}\rho = 1{,}327185\times10^{20}\times 1500 = 1{,}9907775\times10^{23}.
D = 4 \times c \times (G M_{\odot}\rho) = 4\times(3{,}00\times10^{8})\times 1{,}9907775\times10^{23} = 2{,}388933\times10^{32}.
  • Agora r = N/D:
r = \frac{9{,}028125\times10^{25}}{2{,}388933\times10^{32}} \approx 3{,}78\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para unidades mais intuitivas:
r \approx 3{,}78\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=0{,}378\\ \mu\mathrm{m}=378\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Interpretação rápida e encorajamento.
  • Resultado físico: a partir desse cálculo, partículas esféricas com densidade 1{,}50\\ \mathrm{g/cm^{3}} localizadas a 3{,}75\times10^{11}\\ \mathrm{m} do Sol e com raio menor que cerca de 3{,}8\times10^{-7}\\ \mathrm{m} terão a força da radiação solar maior que a força gravitacional (ou seja, a radiação domina e pode expulsá-las), enquanto partículas maiores serão dominadas pela gravidade do Sol.
  • Boa notícia: já temos a fórmula geral para variar parâmetros e ver como r muda. Vai ser útil na prova — lembra de sempre escrever as expressões antes de meter números, isso evita erro!

Resposta

r \approx 3{,}78\times10^{-7}\\ \mathrm{m} \approx 0{,}378\\ \mu\mathrm{m}

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