Considere uma partícula pequena e esférica de raio
localizada no espaço a uma distância
do Sol. (a) Mostre que a razão
é proporcional a
, onde
é a força exercida pela radiação solar e
é a força da atração gravitacional. (b) O resultado do item (a) significa que, para um valor suficientemente pequeno de
, a força exercida sobre a partícula pela radiação solar excede a força da atração gravitacional. Calcule o valor de
para o qual a partícula está em equilíbrio sob as duas forças. (Suponha que a partícula tem uma superficie absorvedora perfeita e densidade de massa de
. Considere que a partícula está localizada a
do Sol e use 214
como o valor da intensidade solar nesse ponto.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Intensidade solar no ponto:
. - Distância da partícula ao Sol:
. - Partícula esférica e pequena, raio
(variável a determinar). - A partícula é um absorvedor perfeito (isto afeta a pressão da radiação).
- Densidade da partícula:
.
- Intensidade solar no ponto:
- Constantes necessárias (valores numéricos que usarei):
- Velocidade da luz:
. - Constante gravitacional:
. - Massa do Sol:
.
- Velocidade da luz:
- O enunciado pede:
(a) mostrar queé proporcional a ;
(b) encontrar o valor de(em metros) para o qual as duas forças se equilibram (isto é, ).
Passo 2
Entendendo a força devida à radiação solar (no caso de absorvedor perfeito).
- Intensidade
é potência por área (unidade ). A radiação que incide sobre a partícula exerce uma pressão de radiação. - Para uma superfície que absorve perfeitamente a luz, a pressão de radiação vale
Explicação curta: energia por tempo por área transporta momento; para absorção completa a pressão é
. (Se fosse reflexão perfeita, seria
.)
- A força de radiação sobre a partícula é essa pressão multiplicada pela área de projeção da esfera (a área “vista” pela luz), que é a área do círculo de raio
:
Aqui defini explicitamente cada símbolo usado:
-
= intensidade solar no local, -
= velocidade da luz, -
= raio da partícula, -
= área de seção transversal da esfera.
Passo 3
Entendendo a força gravitacional sobre a partícula.
- A força gravitacional que o Sol exerce numa massa
a distância é dada pela lei da gravitação de Newton:
onde
é a constante gravitacional e
é a massa do Sol.
- A massa
da partícula esférica é dada por sua densidade vezes seu volume:
onde
é a densidade da partícula.
- Substituindo
em obtemos:
Passo 4
Calcular a razão
simbolicamente e mostrar a dependência em
.
- Usando as expressões dos passos anteriores:
- Simplificando a expressão: cancele
, cancele com parte de , e organize os fatores:
- Conclusão do item (a): a razão
é proporcional a , pois todos os outros fatores ( ) são independentes de .
Passo 5
Achar o raio
de equilíbrio (item (b)): condição
.
- A condição de equilíbrio é
. A partir da fórmula do passo anterior:
- Isolando
:
Essa é a fórmula que nos dá o raio crítico a partir dos parâmetros físicos.
Passo 6
Conversões e valores numéricos; cálculo passo a passo.
- Converter a densidade para unidades SI:
- Substituir os números na fórmula
- Primeiro calcule
:
- Calcule o numerador
:
- Calcule o denominador
:
- Agora
:
- Converter para unidades mais intuitivas:
Passo 7
Interpretação rápida e encorajamento.
- Resultado físico: a partir desse cálculo, partículas esféricas com densidade
localizadas a do Sol e com raio menor que cerca de terão a força da radiação solar maior que a força gravitacional (ou seja, a radiação domina e pode expulsá-las), enquanto partículas maiores serão dominadas pela gravidade do Sol. - Boa notícia: já temos a fórmula geral para variar parâmetros e ver como
muda. Vai ser útil na prova — lembra de sempre escrever as expressões antes de meter números, isso evita erro!