46{ }^{\text {a }} \mathrm{Um} laser pulsado de rubi emite luz a 694,3 \mathrm{~nm}. Para um pulso de 14,0 \mathrm{ps} contendo 3,00 \mathrm{~J} de energia, encontre (a) o comprimento físico do pulso à medida que ele se propaga através do espaço e (b) o número de fótons no pulso. (c) Se o feixe tem uma seção transversal circular com 0,600 \mathrm{~cm} de diâmetro, encontre o número de fótons por milímetro cúbico.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
Dados fornecidos (peguei do enunciado):
  • Comprimento de onda: \lambda = 694{,}3\\ \mathrm{nm}.
  • Duração do pulso: \Delta t = 14{,}0\\ \mathrm{ps}.
  • Energia do pulso: E_{\text{pulso}} = 3{,}00\\ \mathrm{J}.
  • Diâmetro da seção transversal do feixe: d = 0{,}600\\ \mathrm{cm}.
O que o enunciado pede:
(a) o comprimento físico do pulso enquanto ele se propaga pelo espaço (ou seja, o comprimento espacial do pacote de onda correspondente ao pulso);
(b) o número de fótons no pulso;
(c) o número de fótons por milímetro cúbico dentro do pulso, supondo seção transversal circular de diâmetro dado.

Passo 2

Primeira ideia importante (fórmula e por que ela vale): o comprimento físico L do pulso é simplesmente a velocidade de propagação do pulso multiplicada pelo tempo que o pulso dura. No vácuo a luz viaja aproximadamente com a velocidade c. Logo usamos a relação
L = c\,\Delta t.
Aqui:
  • L é o comprimento físico do pulso (unidade: metros),
  • c é a velocidade da luz no vácuo (unidade: metros por segundo),
  • \Delta t é a duração temporal do pulso (unidade: segundos).
Vou converter os dados para unidades do SI antes de aplicar a fórmula.

Passo 3

Conversões para o SI:
\Delta t = 14{,}0\\ \mathrm{ps}=14{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{s}=1{,}40\times10^{-11}\\ \mathrm{s},
c \approx 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Agora aplico a fórmula \;L=c\,\Delta t\;:
L = (3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s})\times(1{,}40\times10^{-11}\\ \mathrm{s})=4{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Para interpretar melhor, converto para milímetros:
4{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=4{,}20\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Agora (b): como encontrar o número de fótons num pulso? Cada fóton tem energia dada por
E_{\text{fóton}} = \frac{h c}{\lambda},ó
onde:
  • h é a constante de Planck, h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s},
  • c é a velocidade da luz ( 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}),
  • \lambda é o comprimento de onda em metros.
Depois, o número de fótons N no pulso é
N=\frac{E_{\text{pulso}}}{E_{\text{fóton}}}.ó
Vou converter \lambda para metros e calcular E_{\text{fóton}}ó.

Passo 5

Converter comprimento de onda para metros:
\lambda = 694{,}3\\ \mathrm{nm}=694{,}3\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=6{,}943\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Calcular a energia do fóton:
E_{\text{fóton}}=\frac{h c}{\lambda} =\frac{(6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s})(3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s})}{6{,}943\times10^{-7}\\ \mathrm{m}}.ó
Faço as contas em etapas:
h c = 6{,}626\times10^{-34}\times3{,}00\times10^{8}=1{,}9878\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m},
E_{\text{fóton}}=\frac{1{,}9878\times10^{-25}}{6{,}943\times10^{-7}} \approx 2{,}86\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó
Agora o número de fótons:
N=\frac{E_{\text{pulso}}}{E_{\text{fóton}}} =\frac{3{,}00\\ \mathrm{J}}{2{,}86\times10^{-19}\\ \mathrm{J}} \approx 1{,}05\times10^{19}.ó

Passo 6

Parte (c): queremos o número de fótons por milímetro cúbico dentro do pulso. Ideia: o pulso ocupa um volume igual à área da seção transversal multiplicada pelo comprimento do pulso. Então densidade de fótons (por unidade de volume) é
n = \frac{N}{V} = \frac{N}{A\,L},
onde A é a área da seção transversal circular e L é o comprimento físico do pulso (já obtido).
Calculemos A. Do enunciado o diâmetro é d=0{,}600\\ \mathrm{cm}. Convertendo para milímetros (porque queremos resultado em fótons por \mathrm{mm}^3):
d = 0{,}600\\ \mathrm{cm}=6{,}00\\ \mathrm{mm},\qquad r=\frac{d}{2}=3{,}00\\ \mathrm{mm}.
A área da seção circular é
A=\pi r^{2}=\pi(3{,}00\\ \mathrm{mm})^{2}=\pi\times9{,}00\\ \mathrm{mm}^{2}\approx28{,}274\\ \mathrm{mm}^{2}.

Passo 7

Volume do pulso em \mathrm{mm}^3: usar o comprimento L obtido em milímetros ( L=4{,}20\\ \mathrm{mm}):
V = A\,L \approx 28{,}274\\ \mathrm{mm}^{2}\times4{,}20\\ \mathrm{mm}\approx118{,}75\\ \mathrm{mm}^{3}.
Agora a densidade de fótons em \mathrm{mm}^{-3}:
n=\frac{N}{V}\approx\frac{1{,}05\times10^{19}}{118{,}75}\approx8{,}84\times10^{16}\\ \text{fótons/mm}^{3}.ó

Resposta

(a) L=4{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=4{,}20\\ \mathrm{mm}
(b) N=1{,}05\times10^{19} fótons
(c) n=8{,}84\times10^{16}\\ \text{fótons/mm}^{3}ó

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