laser pulsado de rubi emite luz a
. Para um pulso de
contendo
de energia, encontre (a) o comprimento físico do pulso à medida que ele se propaga através do espaço e (b) o número de fótons no pulso. (c) Se o feixe tem uma seção transversal circular com
de diâmetro, encontre o número de fótons por milímetro cúbico.
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
Dados fornecidos (peguei do enunciado):
- Comprimento de onda:
. - Duração do pulso:
. - Energia do pulso:
. - Diâmetro da seção transversal do feixe:
.
O que o enunciado pede:
(a) o comprimento físico do pulso enquanto ele se propaga pelo espaço (ou seja, o comprimento espacial do pacote de onda correspondente ao pulso);
(b) o número de fótons no pulso;
(c) o número de fótons por milímetro cúbico dentro do pulso, supondo seção transversal circular de diâmetro dado.
(a) o comprimento físico do pulso enquanto ele se propaga pelo espaço (ou seja, o comprimento espacial do pacote de onda correspondente ao pulso);
(b) o número de fótons no pulso;
(c) o número de fótons por milímetro cúbico dentro do pulso, supondo seção transversal circular de diâmetro dado.
Passo 2
Primeira ideia importante (fórmula e por que ela vale): o comprimento físico
do pulso é simplesmente a velocidade de propagação do pulso multiplicada pelo tempo que o pulso dura. No vácuo a luz viaja aproximadamente com a velocidade
. Logo usamos a relação
Aqui:
-
é o comprimento físico do pulso (unidade: metros), -
é a velocidade da luz no vácuo (unidade: metros por segundo), -
é a duração temporal do pulso (unidade: segundos).
Vou converter os dados para unidades do SI antes de aplicar a fórmula.
Passo 3
Conversões para o SI:
Agora aplico a fórmula
:
Para interpretar melhor, converto para milímetros:
Passo 4
Agora (b): como encontrar o número de fótons num pulso? Cada fóton tem energia dada por
onde:
-
é a constante de Planck, , -
é a velocidade da luz ( ), -
é o comprimento de onda em metros.
Depois, o número de fótons
no pulso é
Vou converter
para metros e calcular
.
Passo 5
Converter comprimento de onda para metros:
Calcular a energia do fóton:
Faço as contas em etapas:
Agora o número de fótons:
Passo 6
Parte (c): queremos o número de fótons por milímetro cúbico dentro do pulso. Ideia: o pulso ocupa um volume igual à área da seção transversal multiplicada pelo comprimento do pulso. Então densidade de fótons (por unidade de volume) é
onde
é a área da seção transversal circular e
é o comprimento físico do pulso (já obtido).
Calculemos
. Do enunciado o diâmetro é
. Convertendo para milímetros (porque queremos resultado em fótons por
):
A área da seção circular é
Passo 7
Volume do pulso em
: usar o comprimento
obtido em milímetros (
):
Agora a densidade de fótons em
:
Resposta
(a)
(b) fótons
(c)
(b)
(c)