[50] Para pequenas variações de temperatura, o modelo para a dilatação de uma barra de metal homogênea submetida à mudanças de temperatura é L-L_{0}=a L_{0}\left(t-t_{0}\right), onde L é o comprimento da barra quando a temperatura é t, L_{0} é o comprimento inicial da barra na temperatura t_{0} e a é uma constante que depende do tipo de metal.
a) Verifique se L é função linear de t.
b) Supondo que a barra, inicialmente mede 100 cm a uma temperatura de 60^{\circ} \mathrm{C} e que para o metal com que foi feita a=10^{-5}, esboce o gráfico que expresse o comprimento da barra em função da temperatura.

Passo 1

O enunciado dá a relação
L - L_{0} = a\,L_{0}\,(t - t_{0}),
onde as variáveis significam:
L=\text{comprimento da barra à temperatura }t,à
L_{0}=\text{comprimento inicial da barra à temperatura }t_{0},à
a=\text{coeficiente de dilatação linear (constante do metal)},çã
t=\text{temperatura atual (em }^\circ\mathrm{C}\text{)},
t_{0}=\text{temperatura inicial (em }^\circ\mathrm{C}\text{)}.
As perguntas são:
a) Verificar se L é função linear de t.
b) Dado L_{0}=100 cm em t_{0}=60^\circ\mathrm{C} e a=10^{-5}, esboçar o gráfico de L em função de t.

Passo 2

O que significa "ser função linear de t"? Uma função é linear (no sentido afim usado aqui) quando pode ser escrita na forma
f(t)=m\,t+b,
onde m é a inclinação (slope) e b é o termo independente (intercepto). Explicando os termos: m diz quanto a saída muda quando t aumenta de uma unidade (a unidade aqui será cm por grau Celsius) e b é o valor da função quando t=0.

Passo 3

Vamos manipular a fórmula dada para colocar L explicitamente em função de t.
Começamos por:
L - L_{0} = a\,L_{0}\,(t - t_{0}).
Expandindo o lado direito:
L - L_{0} = a\,L_{0}\,t - a\,L_{0}\,t_{0}.
Somando L_{0} em ambos os lados:
L = a\,L_{0}\,t + \bigl(L_{0} - a\,L_{0}\,t_{0}\bigr).
Portanto L pode ser escrita na forma m\,t+b com
m = a\,L_{0}\quad\text{e}\quad b = L_{0} - a\,L_{0}\,t_{0}.
Concluímos que, algebraicamente, L é função linear de t (é uma reta).

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente m e b com os dados dados: L_{0}=100 cm, t_{0}=60^\circ\mathrm{C}, a=10^{-5}.
Calculando a inclinação:
m = a\,L_{0} = 10^{-5}\times 100 = 10^{-3} = 0{,}001\quad\text{(cm por }^\circ\mathrm{C}\text{)}.
Interpretação prática: para cada aumento de 1^\circ\mathrm{C} o comprimento cresce 0{,}001 cm, que é igual a 0{,}01 mm.
Calculando o termo independente:
b = L_{0} - a\,L_{0}\,t_{0} = 100 - 10^{-5}\times 100 \times 60 = 100 - 0{,}06 = 99{,}94\\ \text{cm}.
Logo a equação explícita é
L(t)=0{,}001\,t + 99{,}94\quad\text{(comprimento em cm, }t\text{ em }^\circ\mathrm{C}\text{)}.

Passo 5

Vamos verificar com pontos conhecidos:
Calcule L(60^\circ\mathrm{C}):
L(60)=0{,}001\times 60 + 99{,}94 = 0{,}06 + 99{,}94 = 100\\ \text{cm},
o que confere com o dado do enunciado.
Calcule mais alguns pontos úteis para esboçar o gráfico:
L(0)=0{,}001\times 0 + 99{,}94 = 99{,}94\\ \text{cm},
L(100)=0{,}001\times 100 + 99{,}94 = 0{,}1 + 99{,}94 = 100{,}04\\ \text{cm}.
Observação: a variação de comprimento é muito pequena no intervalo de temperatura, por isso a reta aparece quase horizontal.

Passo 6

Instruções para esboçar o gráfico (faça assim na folha):
  • Eixos: eixo horizontal para t (em ^{\circ}\mathrm{C}), eixo vertical para L (em cm).
  • Marque pelo menos os pontos (0,99{,}94), (60,100) e (100,100{,}04).
  • Escolha uma escala vertical que mostre a pequena variação: por exemplo, eixo L de 99{,}90 a 100{,}10 com marcas a cada 0{,}02 cm; eixo t de 0 a 120^\circ\mathrm{C} com marcas a cada 20^\circ\mathrm{C}.
  • Trace a reta que passa por esses pontos. Note que a reta tem inclinação positiva muito pequena ( 0{,}001 cm/°C), portanto visualmente será quase plana, subindo levemente para a direita.
  • Rotule a reta com a equação L(t)=0{,}001\,t+99{,}94.

Passo 7

Resumo e dica rápida para prova: quando ver uma relação do tipo L-L_{0}=aL_{0}(t-t_{0}), isole L para obter a forma afim L=m t+b. Identifique m=aL_{0} (a inclinação) e calcule b. Sempre verifique com o ponto dado para checar cálculos. Força — você já tem a reta na mão!

Resposta

a) Sim. L é função linear de t; em forma geral L = a\,L_{0}\,t + \bigl(L_{0} - a\,L_{0}\,t_{0}\bigr).
b) Equação da reta: L(t)=0{,}001\,t+99{,}94 (comprimento em cm, t em ^{\circ}\mathrm{C}); pontos úteis: L(0)=99{,}94, L(60)=100, L(100)=100{,}04.

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