50-Quando uma radiação de 58,4 \mathrm{~nm} de uma lâmpada de descarga de hélio é direcionada para uma amostra de criptônio, elétrons são expulsos com uma velocidade de 1,59 \times 106 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. A mesma radia- ção expulsa elétrons de átomos de Rb com uma velocidade de 2,45 \times 106 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. Quais são as energias de ionização (em elétron-volt, eV) dos dois elementos?

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar as energias de ionização (em elétron-volt, eV) dos átomos de criptônio (Kr) e de rubídio (Rb), sabendo que ambos são iluminados pela mesma radiação.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Comprimento de onda da radiação: \lambda = 58{,}4\\ \text{nm} = 58{,}4\times10^{-9}\\ \text{m}.
  • Velocidade dos elétrons arrancados do criptônio: v_{\text{Kr}} = 1{,}59\times10^{6}\\ \text{m s}^{-1}.
  • Velocidade dos elétrons arrancados do rubídio: v_{\text{Rb}} = 2{,}45\times10^{6}\\ \text{m s}^{-1}.
Constantes que usarei (escrevo valores e o que representam):
  • Constante de Planck: h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J s}.
  • Velocidade da luz no vácuo: c = 2{,}99792458\times10^{8}\\ \text{m s}^{-1}.
  • Massa do elétron: m_e = 9{,}10938356\times10^{-31}\\ \text{kg}.
  • Carga elementar (para converter J em eV): e = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J/eV}.
O método físico que vamos usar (a explicação detalhada vem no próximo passo): a energia do fóton incidente é usada para arrancar o elétron; a diferença entre a energia do fóton e a energia cinética do elétron é a energia de ionização do átomo.

Passo 2

Calcular a energia do fóton associado ao comprimento de onda dado. Fórmula e significado:
  • A energia de um fóton de comprimento de onda \lambda é dada por
E_{\text{fóton}}=\frac{h\,c}{\lambda},ó
onde h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz e \lambda é o comprimento de onda.
Cálculo numérico passo a passo:
  • Primeiro calcule h c:
h c = (6{,}62607015\times10^{-34})\times(2{,}99792458\times10^{8}) =1{,}98644586\times10^{-25}\\ \text{J m}.
  • Agora divida por \lambda = 58{,}4\times10^{-9}\\ \text{m}:
E_{\text{fóton}}=\frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{58{,}4\times10^{-9}} =3{,}40249\times10^{-18}\\ \text{J}.ó
  • Converter para eV dividindo por e:
E_{\text{fóton}}=\frac{3{,}40249\times10^{-18}}{1{,}602176634\times10^{-19}} =21{,}23\\ \text{eV}.ó
Interpretação rápida: cada fóton dessa radiação tem energia \,21{,}23\\ \text{eV}.

Passo 3

Calcular a energia cinética dos elétrons arrancados do criptônio. Fórmula e significado:
  • A energia cinética de um elétron com massa m_e e velocidade v é
K=\tfrac{1}{2} m_e v^{2},
onde m_e é a massa do elétron e v sua velocidade.
Cálculo para o criptônio ( v_{\text{Kr}}=1{,}59\times10^{6}\\ \text{m s}^{-1}):
  • Calcule v_{\text{Kr}}^{2}:
v_{\text{Kr}}^{2}=(1{,}59\times10^{6})^{2}=2{,}5281\times10^{12}\\ \text{m}^{2}\text{s}^{-2}.
  • Calcule K_{\text{Kr}}:
K_{\text{Kr}}=\tfrac{1}{2}\times(9{,}10938356\times10^{-31})\times(2{,}5281\times10^{12}) =1{,}15215\times10^{-18}\\ \text{J}.
  • Converter para eV:
K_{\text{Kr}}=\frac{1{,}15215\times10^{-18}}{1{,}602176634\times10^{-19}} =7{,}19\\ \text{eV}.

Passo 4

Calcular a energia cinética dos elétrons arrancados do rubídio usando a mesma fórmula.
Cálculo para o rubídio ( v_{\text{Rb}}=2{,}45\times10^{6}\\ \text{m s}^{-1}):
  • Calcule v_{\text{Rb}}^{2}:
v_{\text{Rb}}^{2}=(2{,}45\times10^{6})^{2}=6{,}0025\times10^{12}\\ \text{m}^{2}\text{s}^{-2}.
  • Calcule K_{\text{Rb}}:
K_{\text{Rb}}=\tfrac{1}{2}\times(9{,}10938356\times10^{-31})\times(6{,}0025\times10^{12}) =2{,}73318\times10^{-18}\\ \text{J}.
  • Converter para eV:
K_{\text{Rb}}=\frac{2{,}73318\times10^{-18}}{1{,}602176634\times10^{-19}} =17{,}05\\ \text{eV}.

Passo 5

Relacionar energia do fóton, energia cinética do elétron e energia de ionização. Teoria e fórmula:
  • A equação de energia (balanço) para o efeito fotoelétrico / ionização é
E_{\text{fóton}} = \varphi + K,ó
onde \varphi é a energia de ionização do átomo (o que queremos) e K é a energia cinética do elétron arrancado. Portanto
\varphi = E_{\text{fóton}} - K.ó
Aqui E_{\text{fóton}}ó e K podem estar em joules ou em eV; para facilitar, uso os valores em eV já calculados.

Passo 6

Calcular \varphi para o criptônio:
  • Usando valores em eV:
\phi_{\text{Kr}} = E_{\text{fóton}} - K_{\text{Kr}} = 21{,}23\\ \text{eV} - 7{,}19\\ \text{eV} = 14{,}04\\ \text{eV}.ó
Arredondando com duas casas decimais: \phi_{\text{Kr}}\approx14{,}05\\ \text{eV} (pequenas diferenças de arredondamento aparecem dependendo do número de casas usadas nos passos anteriores).

Passo 7

Calcular \varphi para o rubídio:
  • Usando valores em eV:
\phi_{\text{Rb}} = E_{\text{fóton}} - K_{\text{Rb}} = 21{,}23\\ \text{eV} - 17{,}05\\ \text{eV} = 4{,}18\\ \text{eV}.ó

Passo 8

Resumo numérico final (valores arredondados de forma razoável):
  • Energia de ionização do criptônio: \phi_{\text{Kr}}\approx14{,}05\\ \text{eV}.
  • Energia de ionização do rubídio: \phi_{\text{Rb}}\approx4{,}18\\ \text{eV}.
Força final: deu trabalho, mas a conta é sempre a mesma na prova: converte o comprimento de onda em energia de fóton, calcula K=\tfrac{1}{2}mv^{2}, e subtrai. Você já decorou o caminho!

Resposta

\text{Kr: }14{,}05\\ \text{eV}
\text{Rb: }4{,}18\\ \text{eV}

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