50 Resolva o sistema:
\left(\begin{array}{l} \frac{2}{x}-\frac{1}{y+2}=0 \\\ \frac{x-y}{3}+3=\frac{x+y}{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} \displaystyle \frac{2}{x} - \frac{1}{y+2} = 0,\\[0.5em] \displaystyle \frac{x - y}{3} + 3 = \frac{x + y}{2}, \end{cases}
que envolve uma equação racional na primeira linha e uma equação do 1º grau na segunda. Vamos usar álgebra elementar: na primeira isolamos uma variável em função da outra, e na segunda substituímos.]

Passo 2

Da equação \displaystyle \frac{2}{x} - \frac{1}{y+2} = 0 temos
\frac{2}{x} = \frac{1}{y+2} \quad\Longrightarrow\quad 2(y+2) = x \quad\Longrightarrow\quad x = 2y + 4.
Aqui já anotamos que x\neq0 e y\neq -2 (para não zerar denominadores).

Passo 3

Substituímos x = 2y+4 na segunda equação
\frac{x - y}{3} + 3 = \frac{x + y}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{(2y+4)-y}{3} + 3 = \frac{(2y+4)+y}{2}.
Isso vira
\frac{y + 4}{3} + 3 = \frac{3y + 4}{2}.

Passo 4

Para eliminar denominadores, multiplicamos ambos os lados por 6:
6\Bigl(\frac{y + 4}{3} + 3\Bigr) = 6\cdot \frac{3y + 4}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2(y+4) + 18 = 3(3y + 4).
Calculando,
2y + 8 + 18 = 9y + 12 \quad\Longrightarrow\quad 2y + 26 = 9y + 12 \quad\Longrightarrow\quad 26 - 12 = 9y - 2y \quad\Longrightarrow\quad 14 = 7y \quad\Longrightarrow\quad y = 2.

Passo 5

Com y = 2, usamos x = 2y + 4:
x = 2\cdot 2 + 4 = 8.
Verificamos que x\neq0 e y\neq -2, logo não há problema de domínio.

Resposta

(x,y) = (8,2)

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