51 Resolva o sistema:
\left(\begin{array}{l} \frac{2 x+1}{x-4}=\frac{y+2}{y-1}+1 \\\ \frac{3 x-1}{x-3}=\frac{2 y+8}{y+1}+1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações racionais
\begin{cases} \displaystyle \frac{2x+1}{x-4} = \frac{y+2}{y-1} + 1,\\[6pt] \displaystyle \frac{3x-1}{x-3} = \frac{2y+8}{y+1} + 1. \end{cases}
O conteúdo aqui é manipular frações, somar termos para obter uma única fração, depois usar a cross-multiplicação para chegar a relações lineares entre x e y.]

Passo 2

Na primeira equação, escrevemos
\frac{y+2}{y-1} + 1 = \frac{y+2}{y-1} + \frac{y-1}{y-1} = \frac{2y+1}{y-1},
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\frac{2x+1}{x-4} = \frac{2y+1}{y-1}.
Aplicando cross-multiplicação:
(2x+1)(y-1) = (2y+1)(x-4).
Expandindo e simplificando, obtemos
2xy - 2x + y - 1 = 2xy - 8y + x - 4 \;\Longrightarrow\; -3x + 9y + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; y = \frac{x-1}{3}.

Passo 3

Na segunda equação, escrevemos
\frac{2y+8}{y+1} + 1 = \frac{2y+8}{y+1} + \frac{y+1}{y+1} = \frac{3y+9}{y+1},
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\frac{3x-1}{x-3} = \frac{3y+9}{y+1}.
Fazendo cross-multiplicação:
(3x-1)(y+1) = (3y+9)(x-3).
Expandindo e simplificando, obtemos
3x y + 3x - y - 1 = 3xy - 9y + 9x - 27 \;\Longrightarrow\; -3x + 4y + 13 = 0 \;\Longrightarrow\; y = \frac{3x-13}{4}.

Passo 4

Igualando as duas expressões de y:
\frac{x-1}{3} = \frac{3x-13}{4} \;\Longrightarrow\; 4(x-1) = 3(3x-13) \;\Longrightarrow\; 4x - 4 = 9x - 39 \;\Longrightarrow\; 5x = 35 \;\Longrightarrow\; x = 7.
Substituindo em y = \tfrac{x-1}{3}
y = \frac{7-1}{3} = 2.

Passo 5

Verificamos as restrições de domínio: x\neq4,3 e y\neq1,-1. O par (7,2) satisfaz todas, e conferindo no sistema original obtemos igualdades verdadeiras em ambas as equações.

Resposta

(x,y) = (7,2).

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