6.51
A quantidade
denomina-se comprimento de onda de Compton. Escreva a diferença entre o comprimento de onda do fóton antes e depois da colisão com o elétron livre em função de
e do ângulo
do espalhamento do fóton.
Passo 1
O enunciado pede a diferença
entre o comprimento de onda de um fóton antes (
) e depois (
) de colidir elasticamente com um elétron livre, em função da “comprimento de onda de Compton”
e do ângulo de espalhamento
. Vamos usar conservação de energia e de momento para o processo de espalhamento Compton.
Passo 2
Definimos as energias e momentos dos fótons e do elétron:
– Fóton incidente: energia , momento
.
– Fóton espalhado: energia , momento
.
– Elétron inicial em repouso: energia , momento nulo.
Conservação de energia:
– Fóton incidente: energia
– Fóton espalhado: energia
– Elétron inicial em repouso: energia
Conservação de energia:
onde
é a energia final do elétron.
Conservação de momento (vetorial):
Conservação de momento (vetorial):
Passo 3
Para eliminar
e
usamos a identidade relativística
e escrevemos a conservação de energia ao quadrado:
Substituindo
,
e expandindo, e por outro lado usando
após cancelamentos chegamos à relação intermediária
Passo 4
Substituímos
e
em
e simplificamos:
Reconhecendo
, obtemos a fórmula desejada.