6.51

A quantidade lambdaC=hm c denomina-se comprimento de onda de Compton. Escreva a diferença entre o comprimento de onda do fóton antes e depois da colisão com o elétron livre em função de lambdaC e do ângulo varphi do espalhamento do fóton.

Passo 1

O enunciado pede a diferença De<a lambda = lambda' - lambda entre o comprimento de onda de um fóton antes ( lambda) e depois ( lambda') de colidir elasticamente com um elétron livre, em função da “comprimento de onda de Compton”
lambdaC = hm,c
e do ângulo de espalhamento varphi. Vamos usar conservação de energia e de momento para o processo de espalhamento Compton.

Passo 2

Definimos as energias e momentos dos fótons e do elétron:
– Fóton incidente: energia E = dfrach,clambda, momento p = Ec = hlambda.
– Fóton espalhado: energia E' = dfrach,clambda', momento p' = hlambda'.
– Elétron inicial em repouso: energia m c^2, momento nulo.
Conservação de energia:
h,clambda + m,c^2 = h,clambda' + Ee,
onde Ee é a energia final do elétron.
Conservação de momento (vetorial):
vec p = vec p,' + vec pe Longrightarrow pe^2 = p^2 + p'^2 - 2,p,p'cosvarphi

Passo 3

Para eliminar Ee e pe usamos a identidade relativística
Ee^2 = (pec)^2 + (m,c^2)^2
e escrevemos a conservação de energia ao quadrado:
l(E + m,c^2 - E'r)^2 = Ee^2
Substituindo E, E' e expandindo, e por outro lado usando
(pec)^2 = l(p^2 + p'^2 - 2pp'cosvarphir)c^2 = E^2 + E'^2 - 2EE'cosvarphi,
após cancelamentos chegamos à relação intermediária
m,c^2,(E - E') = E,E',(1 - cosvarphi)

Passo 4

Substituímos E = dfrach,clambda e E' = dfrach,clambda' em
m,c^2gl(h,clambda - h,clambda'gr) = h^2,c^2lambda,lambda',(1 - cosvarphi)
e simplificamos:
m,c^2,h,cl(tfrac1lambda - tfrac1lambda'r) = h^2,c^2,1 - cosvarphilambda,lambda' ;Longrightarrow; lambda' - lambda = hm,c,(1 - cosvarphi)
Reconhecendo lambdaC = h/(m,c), obtemos a fórmula desejada.

Resposta

boxedlambda' - lambda = lambdaC,l(1 - cosvarphir)

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