1. 6-52. De acordo com a mecânica quântica, qualquer partícula confinada em uma região do espaço tem uma velocidade diferente de zero e portanto jamais pode estar em repouso. Considere uma bola de pingue-pongue de 2 cm de diâmetro e 2 g de massa que esteja confinada em uma caixa de 2,001 \mathrm{~cm} de comprimento. Nestas condições, a bola dispõe de um espaço de apenas 0,001 \mathrm{~cm} para se mover. (a) Qual a menor velocidade possível da bola, de acordo com a equação de Schrödinger? (b) Qual o período de uma oscilação da bola?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido, transformando tudo para unidades do SI (m, kg, s).
  • Dados do enunciado:
    • Diâmetro da bola: 2\\ \mathrm{cm} (mas o que importa é o espaço livre dentro da caixa).
    • Comprimento da caixa: 2{,}001\\ \mathrm{cm}.
    • Espaço disponível para a bola mover-se: L = 2{,}001\\ \mathrm{cm} - 2\\ \mathrm{cm} = 0{,}001\\ \mathrm{cm}.
    • Massa da bola: m = 2\\ \mathrm{g}.
  • Converter para SI:
    • L = 0{,}001\\ \mathrm{cm} = 0{,}001\times 10^{-2}\\ \mathrm{m} = 1\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}.
    • m = 2\\ \mathrm{g} = 2\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg} = 0{,}002\\ \mathrm{kg}.
  • O enunciado pede:
    (a) A menor velocidade possível da bola, segundo a equação de Schrödinger (ou seja, o estado fundamental de uma partícula confinada).
    (b) O período de uma oscilação da bola (tempo para um vaivém no espaço disponível).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Quando uma partícula está confinada numa região unidimensional de comprimento L com paredes muito rígidas, um modelo simples é “partícula numa caixa infinita” (poço infinito). A solução da equação de Schrödinger para esse caso dá níveis de energia quantizados.
  • Para o nível n-ésimo a energia é
E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2},
onde:
  • E_n é a energia do nível n,
  • n é um inteiro positivo ( n=1,2,\dots); o menor valor possível é n=1 (estado fundamental),
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, \hbar \approx 1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\;s},
  • m é a massa da partícula (aqui, da bola),
  • L é o comprimento do intervalo onde a partícula pode se mover.
  • Breve motivo físico: a função de onda tem que se anular nas paredes, gerando ondas estacionárias; os comprimentos de onda permitidos são tais que k = n\pi/L, com p=\hbar k e E=p^2/(2m), levando à fórmula acima.
  • Para estimar a “menor velocidade” associada a esse estado, tratamos a energia E_1 como energia cinética clássica efetiva:
E_1 = \frac{1}{2} m v_{\min}^2,
e assim
v_{\min} = \sqrt{\frac{2E_1}{m}}.
Vou usar n=1 (estado fundamental) porque é a menor energia permitida.

Passo 3

Cálculo da energia do estado fundamental E_1 passo a passo.
  • Primeiro escrevo a fórmula para n=1:
E_1 = \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}.
  • Substituir os valores: \hbar = 1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\;s}, m = 0{,}002\\ \mathrm{kg}, L = 1\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular numerador \pi^2\hbar^2:
    \hbar^2 = \bigl(1{,}054571817\times10^{-34}\bigr)^2 \approx 1{,}112121\times10^{-68}\\ \mathrm{J^2 s^2},
\pi^2\hbar^2 \approx 9{,}8696044 \times 1{,}112121\times10^{-68} \approx 1{,}0973\times10^{-67}\\ \mathrm{J^2 s^2}.
  • Calcular denominador 2 m L^2: L^2 = (1\times10^{-5})^2 = 1\times10^{-10}\\ \mathrm{m^2},
2 m L^2 = 2 \times 0{,}002 \times 1\times10^{-10} = 4\times10^{-13}\\ \mathrm{kg\\ m^2}.
  • Agora E_1: E_1 = \frac{1{,}0973\times10^{-67}}{4\times10^{-13}} \approx 2{,}743\times10^{-55}\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia do estado fundamental é aproximadamente \,E_1 \approx 2{,}74\times10^{-55}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Converter essa energia em velocidade mínima.
  • Relacionamento usado: energia cinética clássica \,E = \dfrac{1}{2} m v^2. Aqui interpretamos E_1 como energia cinética mínima associada ao movimento quântico da bola confinada.
    v_{\min} = \sqrt{\frac{2E_1}{m}}.
  • Substituindo E_1 \approx 2{,}743\times10^{-55}\\ \mathrm{J} e m = 0{,}002\\ \mathrm{kg}:
    v_{\min} = \sqrt{\frac{2\times 2{,}743\times10^{-55}}{0{,}002}} = \sqrt{\frac{5{,}486\times10^{-55}}{2\times10^{-3}}} = \sqrt{2{,}743\times10^{-52}} \approx 1{,}66\times10^{-26}\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: essa velocidade é absurdamente pequena, mas não zero — é a implicação do confinamento quântico: não se pode ter exatamente zero de movimento.

Passo 5

Calcular o período de oscilação (tempo de vaivém) usando a velocidade encontrada.
  • Definição do período aqui: considerar o tempo que a bola levaria para ir de uma parede à outra e voltar (um vaivém completo). Se a velocidade efetiva é v_{\min} e o espaço disponível é L, o tempo de ida e volta é
T = \frac{2L}{v_{\min}}.
  • Substituir L = 1\times10^{-5}\\ \mathrm{m} e v_{\min} \approx 1{,}66\times10^{-26}\\ \mathrm{m/s}:
    T \approx \frac{2\times 1\times10^{-5}}{1{,}66\times10^{-26}} = \frac{2{,}0\times10^{-5}}{1{,}66\times10^{-26}} \approx 1{,}21\times10^{21}\\ \mathrm{s}.
  • Para dar uma ideia, converter para anos: 1\\ \text{ano}\approx 3{,}156\times10^{7}\\ \mathrm{s}, então
    T \approx \frac{1{,}21\times10^{21}}{3{,}156\times10^{7}} \approx 3{,}83\times10^{13}\\ \text{anos}.
    Ou seja, cerca de 3{,}8\times10^{13} anos, muito maior que a idade do universo (ordem de 10^{10} anos).

Passo 6

Resumo físico e comentário amigável:
  • A conta mostra que, embora a mecânica quântica impeça exatamente v=0 quando há confinamento, para um objeto macroscópico e pesado como uma bola de pingue-pongue o efeito é completamente insignificante na prática: a velocidade mínima é extraordinariamente pequena e o tempo associado a um “vaivém quântico” é absurdamente grande.
  • Isso ilustra bem por que objetos macroscópicos aparecem “em repouso” no nosso dia a dia apesar das leis quânticas.

Resposta

(a) v_{\min} \approx 1{,}66\times10^{-26}\\ \mathrm{m/s}
(b) T \approx 1{,}21\times10^{21}\\ \mathrm{s} \approx 3{,}8\times10^{13}\\ \text{anos}

Exercícios relacionados