- 6-52. De acordo com a mecânica quântica, qualquer partícula confinada em uma região do espaço tem uma velocidade diferente de zero e portanto jamais pode estar em repouso. Considere uma bola de pingue-pongue de 2 cm de diâmetro e 2 g de massa que esteja confinada em uma caixa de
de comprimento. Nestas condições, a bola dispõe de um espaço de apenas
para se mover. (a) Qual a menor velocidade possível da bola, de acordo com a equação de Schrödinger? (b) Qual o período de uma oscilação da bola?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido, transformando tudo para unidades do SI (m, kg, s).
-
Dados do enunciado:
- Diâmetro da bola:
(mas o que importa é o espaço livre dentro da caixa). - Comprimento da caixa:
. - Espaço disponível para a bola mover-se:
. - Massa da bola:
.
- Diâmetro da bola:
-
Converter para SI:
-
. -
.
-
-
O enunciado pede:
(a) A menor velocidade possível da bola, segundo a equação de Schrödinger (ou seja, o estado fundamental de uma partícula confinada).
(b) O período de uma oscilação da bola (tempo para um vaivém no espaço disponível).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Quando uma partícula está confinada numa região unidimensional de comprimento
com paredes muito rígidas, um modelo simples é “partícula numa caixa infinita” (poço infinito). A solução da equação de Schrödinger para esse caso dá níveis de energia quantizados. - Para o nível
-ésimo a energia é
onde:
-
é a energia do nível , -
é um inteiro positivo ( ); o menor valor possível é (estado fundamental), -
é a constante de Planck reduzida, , -
é a massa da partícula (aqui, da bola), -
é o comprimento do intervalo onde a partícula pode se mover. - Breve motivo físico: a função de onda tem que se anular nas paredes, gerando ondas estacionárias; os comprimentos de onda permitidos são tais que
, com e , levando à fórmula acima. - Para estimar a “menor velocidade” associada a esse estado, tratamos a energia
como energia cinética clássica efetiva:
e assim
Vou usar
(estado fundamental) porque é a menor energia permitida.
Passo 3
Cálculo da energia do estado fundamental
passo a passo.
- Primeiro escrevo a fórmula para
:
-
Substituir os valores:
, , . -
Calcular numerador
:
- Calcular denominador
:
- Agora
:
Portanto a energia do estado fundamental é aproximadamente
.
Passo 4
Converter essa energia em velocidade mínima.
-
Relacionamento usado: energia cinética clássica
. Aqui interpretamos como energia cinética mínima associada ao movimento quântico da bola confinada. -
Substituindo
e : -
Interpretação: essa velocidade é absurdamente pequena, mas não zero — é a implicação do confinamento quântico: não se pode ter exatamente zero de movimento.
Passo 5
Calcular o período de oscilação (tempo de vaivém) usando a velocidade encontrada.
- Definição do período aqui: considerar o tempo que a bola levaria para ir de uma parede à outra e voltar (um vaivém completo). Se a velocidade efetiva é
e o espaço disponível é , o tempo de ida e volta é
-
Substituir
e : -
Para dar uma ideia, converter para anos:
, então Ou seja, cerca deanos, muito maior que a idade do universo (ordem de anos).
Passo 6
Resumo físico e comentário amigável:
- A conta mostra que, embora a mecânica quântica impeça exatamente
quando há confinamento, para um objeto macroscópico e pesado como uma bola de pingue-pongue o efeito é completamente insignificante na prática: a velocidade mínima é extraordinariamente pequena e o tempo associado a um “vaivém quântico” é absurdamente grande. - Isso ilustra bem por que objetos macroscópicos aparecem “em repouso” no nosso dia a dia apesar das leis quânticas.
Resposta
(a)
(b)