- 6-45. Dois nêutrons se encontram em um poço quadrado infinito de largura
fm. Qual é a energia mínima permitida para o sistema? (Os nêutrons, como os elétrons, possuem funções de onda anti-simétricas. Ignore o spin.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Enunciado: Dois nêutrons estão num poço infinito unidimensional de largura
. - Informação adicional dada: os nêutrons são férmions e, como os elétrons, possuem funções de onda anti-simétricas; pede-se para ignorar o spin.
- O que o problema pede: determinar a energia mínima permitida para o sistema de dois nêutrons não interagentes confinados no poço.
Dados importantes que vou usar (pegos do enunciado):
-
. - Trata-se de duas partículas idênticas (nêutrons) e o spin está sendo ignorado, portanto a parte espacial da função de onda deve ser anti‑simétrica perante a troca das partículas (ou seja, não é permitido que ambas ocupem o mesmo estado espacial).
Passo 2
Relembrando a energia de uma partícula num poço infinito unidimensional (aula rápida e concreta).
Para uma partícula de massa
num poço infinito de largura
(paredes infinitas), os níveis de energia estacionários são dados por
Aqui:
-
é a energia do nível quântico com número quântico . -
é a constante de Planck reduzida ( ). -
é a massa da partícula (no caso, massa do nêutron). -
é a largura do poço.
Essa fórmula vem de resolver a equação de Schrödinger com as condições de contorno da parede infinita; não preciso derivar tudo aqui, mas a ideia é que as funções de onda são senos com comprimentos de onda que encaixam um número inteiro de meias-ondas no poço, o que dá o fator.
Passo 3
Como a situação envolve duas partículas idênticas (nêutrons) e o enunciado pede para ignorar o spin, preciso aplicar o princípio de exclusão de Pauli considerando apenas a parte espacial da função de onda.
Explicando de forma direta e intuitiva:
- Para férmions o total da função de onda (espaço × spin) deve ser anti‑simétrica sob troca das partículas.
- Se o spin é ignorado, estamos forçando a parte espacial a ser anti‑simétrica. Uma função espacial anti‑simétrica não pode ter ambas as partículas no mesmo estado individual
, porque trocar as partículas não mudaria nada se elas estivessem no mesmo estado — isso daria função espacial simétrica, proibida aqui. - Conclusão prática: as duas partículas devem ocupar dois estados únicos com índices
distintos. O menor conjunto de níveis distintos com energia total mínima é ocupar e .
Observação pedagógica rápida (para fixar): se o spin fosse considerado e permitisse estados com spins opostos, então as duas partículas poderiam ocupar
com spins opostos e a energia mínima seria
. Mas aqui o enunciado pede para ignorar o spin, então esse caminho não é permitido.
Passo 4
Energia total mínima para as ocupações
e
.
A energia total do sistema, desprezando interação entre as partículas, é soma das energias individuais:
Com
e
obtemos
Agora calculamos
usando a fórmula do poço:
Vamos substituir valores numéricos (tudo em unidades SI):
-
. - massa do nêutron
. -
.
Calculemos
passo a passo:
Portanto
É prático expressar essa energia em MeV (escala usada em física nuclear). Usando
e
:
(Nota: a conversão numérica foi feita dividindo por
.)
Passo 5
Energia total mínima do sistema (soma das duas partículas):
Convertendo para MeV:
Interpretação curta e motivadora: o valor é alto porque confinar nêutrons num poço tão estreito (2,0 fm, ordem do tamanho nuclear) impõe enormes energias cinéticas quânticas; é normal na física nuclear ter níveis de dezenas a centenas de MeV para confinamento tão restrito.