1. 6-45. Dois nêutrons se encontram em um poço quadrado infinito de largura L=2,0 fm. Qual é a energia mínima permitida para o sistema? (Os nêutrons, como os elétrons, possuem funções de onda anti-simétricas. Ignore o spin.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: Dois nêutrons estão num poço infinito unidimensional de largura \,L=2,0\\ \text{fm}\,.
  • Informação adicional dada: os nêutrons são férmions e, como os elétrons, possuem funções de onda anti-simétricas; pede-se para ignorar o spin.
  • O que o problema pede: determinar a energia mínima permitida para o sistema de dois nêutrons não interagentes confinados no poço.
Dados importantes que vou usar (pegos do enunciado):
  • \,L=2,0\\ \text{fm}=2,0\times10^{-15}\\ \text{m}\,.
  • Trata-se de duas partículas idênticas (nêutrons) e o spin está sendo ignorado, portanto a parte espacial da função de onda deve ser anti‑simétrica perante a troca das partículas (ou seja, não é permitido que ambas ocupem o mesmo estado espacial).

Passo 2

Relembrando a energia de uma partícula num poço infinito unidimensional (aula rápida e concreta).
Para uma partícula de massa \,m\, num poço infinito de largura \,L\, (paredes infinitas), os níveis de energia estacionários são dados por
E_n = \frac{\pi^{2}\hbar^{2}n^{2}}{2 m L^{2}},\qquad n=1,2,3,\dots
Aqui:
  • \,E_n\, é a energia do nível quântico com número quântico \,n\,.
  • \,\hbar\, é a constante de Planck reduzida ( \,\hbar\approx1,054571817\times10^{-34}\\ \text{J\,s}\,).
  • \,m\, é a massa da partícula (no caso, massa do nêutron).
  • \,L\, é a largura do poço.
    Essa fórmula vem de resolver a equação de Schrödinger com as condições de contorno da parede infinita; não preciso derivar tudo aqui, mas a ideia é que as funções de onda são senos com comprimentos de onda que encaixam um número inteiro de meias-ondas no poço, o que dá o fator n^{2}.

Passo 3

Como a situação envolve duas partículas idênticas (nêutrons) e o enunciado pede para ignorar o spin, preciso aplicar o princípio de exclusão de Pauli considerando apenas a parte espacial da função de onda.
Explicando de forma direta e intuitiva:
  • Para férmions o total da função de onda (espaço × spin) deve ser anti‑simétrica sob troca das partículas.
  • Se o spin é ignorado, estamos forçando a parte espacial a ser anti‑simétrica. Uma função espacial anti‑simétrica não pode ter ambas as partículas no mesmo estado individual \,n, porque trocar as partículas não mudaria nada se elas estivessem no mesmo estado — isso daria função espacial simétrica, proibida aqui.
  • Conclusão prática: as duas partículas devem ocupar dois estados únicos com índices n distintos. O menor conjunto de níveis distintos com energia total mínima é ocupar \,n_1=1\, e \,n_2=2\,.
Observação pedagógica rápida (para fixar): se o spin fosse considerado e permitisse estados com spins opostos, então as duas partículas poderiam ocupar \,n=1\, com spins opostos e a energia mínima seria 2E_1. Mas aqui o enunciado pede para ignorar o spin, então esse caminho não é permitido.

Passo 4

Energia total mínima para as ocupações \,n_1=1\, e \,n_2=2\,.
A energia total do sistema, desprezando interação entre as partículas, é soma das energias individuais:
E_{\text{total}} = E_{n_1}+E_{n_2}.
Com n_1=1 e n_2=2 obtemos
E_{\text{total}} = E_1 + E_2 = E_1(1^{2}+2^{2}) = 5\,E_1.
Agora calculamos E_1 usando a fórmula do poço:
E_1 = \frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m L^{2}}.
Vamos substituir valores numéricos (tudo em unidades SI):
  • \,\hbar=1,054571817\times10^{-34}\\ \text{J\,s}\,.
  • massa do nêutron \,m_n\approx1,674927498\times10^{-27}\\ \text{kg}\,.
  • L=2,0\times10^{-15}\\ \text{m}.
Calculemos E_1 passo a passo:
\hbar^{2}=(1,054571817\times10^{-34})^{2}=1,112121\times10^{-68}\\ \text{J}^{2}\text{s}^{2}.
\pi^{2}\hbar^{2}=9,8696044\times1,112121\times10^{-68}=1,0979\times10^{-67}\\ \text{J}^{2}\text{s}^{2}.
2 m_n L^{2}=2\times(1,674927498\times10^{-27})\times(2,0\times10^{-15})^{2} =1,339941998\times10^{-56}\\ \text{kg}\,\text{m}^{2}.
Portanto
E_1=\frac{1,0979\times10^{-67}}{1,339941998\times10^{-56}}=8,193\times10^{-12}\\ \text{J}.
É prático expressar essa energia em MeV (escala usada em física nuclear). Usando 1\\ \text{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \text{J} e 1\\ \text{MeV}=10^{6}\\ \text{eV}:
E_1 = \frac{8,193\times10^{-12}}{1,602176634\times10^{-13}}\\ \text{MeV}=51,14\\ \text{MeV}.
(Nota: a conversão numérica foi feita dividindo por 1{,}602176634\times10^{-13}\\ \text{J/MeV}.)

Passo 5

Energia total mínima do sistema (soma das duas partículas):
E_{\text{mín}} = 5\,E_1 = 5\times8,193\times10^{-12}\\ \text{J}=4,0965\times10^{-11}\\ \text{J}.í
Convertendo para MeV:
E_{\text{mín}} = 5\times51,14\\ \text{MeV}=255,7\\ \text{MeV}.í
Interpretação curta e motivadora: o valor é alto porque confinar nêutrons num poço tão estreito (2,0 fm, ordem do tamanho nuclear) impõe enormes energias cinéticas quânticas; é normal na física nuclear ter níveis de dezenas a centenas de MeV para confinamento tão restrito.

Resposta

E_{\text{mín}} = 4,10\times10^{-11}\\ \text{J} = 2,56\times10^{2}\\ \text{MeV}í

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