(52) Em cada item a seguir, encontre as coordenadas dos vetores p e q com relação à base \mathcal{B} :
(a) p(x)=1+2 x-x^{2} \quad e q(x)=4-10 x-x^{2}, \quad \mathcal{B}=\left\{1+x, x+x^{2}, 1+x^{2}\right\};
(b) p(x)=1+2 x-x^{3} \quad e \quad q(x)=-7-10 x^{2}-x^{3}, \quad \mathcal{B}=\left\{1,1-x, 1-x^{2}, 1-x^{3}\right\}.
Passo 1
O enunciado dá dois itens (a) e (b). Em cada item pede: encontrar as coordenadas dos vetores p e q em relação à base \mathcal{B} dada.
Informações fornecidas:
(a) p(x)=1+2x-x^{2} e q(x)=4-10x-x^{2}. \mathcal{B}=\{\,1+x,\;x+x^{2},\;1+x^{2}\,\}.
(b) p(x)=1+2x-x^{3} e q(x)=-7-10x^{2}-x^{3}. \mathcal{B}=\{\,1,\;1-x,\;1-x^{2},\;1-x^{3}\,\}.
O que é pedido exatamente:
Para cada polinômio p e q de cada item, determinar o vetor de coordenadas (os escalares) \alpha,\beta,\gamma,\ldots tais que o polinômio seja a combinação linear das funções da base \mathcal{B}.
Passo 2
Conceito e método (explicação didática e curta): coordenadas numa base.
Se \mathcal{B}=\{b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\} é uma base de um espaço de polinômios, então qualquer polinômio v desse espaço pode ser escrito de modo único como
v = c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+\cdots+c_{n}b_{n},
onde c_{1},\dots,c_{n} são os escalares (as coordenadas de v na base \mathcal{B}).
Para encontrar c_{i} práticos: escrevemos a combinação linear com incógnitas c_{i}, expandimos os termos e igualamos coeficientes dos monômios 1,x,x^{2},\dots. Isso gera um sistema linear fácil de resolver (um por coeficiente de potência de x).
Exemplo simples para fixar a ideia: se a base fosse \{1,x\} e o polinômio 2+3x, escrevemos 2+3x = a\cdot 1 + b\cdot x. Igualando coeficientes dá a=2, b=3. Pronto: coordenadas (2,3).
Agora aplicamos esse procedimento aos dois itens do enunciado, resolvendo passo a passo e explicando cada conta.
Passo 3
Resolver o item (a) para [p(x)=1+2x-x^{2}) com \mathcal{B}=\{1+x,\;x+x^{2},\;1+x^{2}\}.