(52) Em cada item a seguir, encontre as coordenadas dos vetores p e q com relação à base \mathcal{B} :
(a) p(x)=1+2 x-x^{2} \quad e q(x)=4-10 x-x^{2}, \quad \mathcal{B}=\left\{1+x, x+x^{2}, 1+x^{2}\right\};
(b) p(x)=1+2 x-x^{3} \quad e \quad q(x)=-7-10 x^{2}-x^{3}, \quad \mathcal{B}=\left\{1,1-x, 1-x^{2}, 1-x^{3}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá dois itens (a) e (b). Em cada item pede: encontrar as coordenadas dos vetores p e q em relação à base \mathcal{B} dada.
Informações fornecidas:
  • (a) p(x)=1+2x-x^{2} e q(x)=4-10x-x^{2}.
    \mathcal{B}=\{\,1+x,\;x+x^{2},\;1+x^{2}\,\}.
  • (b) p(x)=1+2x-x^{3} e q(x)=-7-10x^{2}-x^{3}.
    \mathcal{B}=\{\,1,\;1-x,\;1-x^{2},\;1-x^{3}\,\}.
O que é pedido exatamente:
  • Para cada polinômio p e q de cada item, determinar o vetor de coordenadas (os escalares) \alpha,\beta,\gamma,\ldots tais que o polinômio seja a combinação linear das funções da base \mathcal{B}.

Passo 2

Conceito e método (explicação didática e curta): coordenadas numa base.
  • Se \mathcal{B}=\{b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\} é uma base de um espaço de polinômios, então qualquer polinômio v desse espaço pode ser escrito de modo único como
v = c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+\cdots+c_{n}b_{n},
onde c_{1},\dots,c_{n} são os escalares (as coordenadas de v na base \mathcal{B}).
  • Para encontrar c_{i} práticos: escrevemos a combinação linear com incógnitas c_{i}, expandimos os termos e igualamos coeficientes dos monômios 1,x,x^{2},\dots. Isso gera um sistema linear fácil de resolver (um por coeficiente de potência de x).
  • Exemplo simples para fixar a ideia: se a base fosse \{1,x\} e o polinômio 2+3x, escrevemos 2+3x = a\cdot 1 + b\cdot x. Igualando coeficientes dá a=2, b=3. Pronto: coordenadas (2,3).
Agora aplicamos esse procedimento aos dois itens do enunciado, resolvendo passo a passo e explicando cada conta.

Passo 3

Resolver o item (a) para [p(x)=1+2x-x^{2}) com \mathcal{B}=\{1+x,\;x+x^{2},\;1+x^{2}\}.
  • Coloco incógnitas \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha(1+x)+\beta(x+x^{2})+\gamma(1+x^{2}) = p(x).
  • Expando o lado esquerdo: agrupo coeficientes de 1,x,x^{2}.
\alpha(1+x)+\beta(x+x^{2})+\gamma(1+x^{2}) = (\alpha+\gamma) + (\alpha+\beta)\,x + (\beta+\gamma)\,x^{2}.
  • Igualo coeficientes com p(x)=1+2x-1\cdot x^{2}. Isso dá o sistema
\begin{cases} \alpha+\gamma = 1,\\[4pt] \alpha+\beta = 2,\\[4pt] \beta+\gamma = -1. \end{cases}
  • Resolvo o sistema (fazendo passo a passo, sem pular contas).
    Da segunda equação \alpha = 2 - \beta\]. Substituo na primeira: \((2-\beta)+\gamma=1 \Rightarrow \gamma = -1 + \beta.
    Substituo \gamma na terceira: \beta + (-1+\beta) = -1 \Rightarrow 2\beta -1 = -1 \Rightarrow 2\beta = 0 \Rightarrow \beta = 0.
    Então \gamma = -1 + 0 = -1.
    E \alpha = 2 - \beta = 2.
  • Portanto as coordenadas de p em \mathcal{B} são
(\alpha,\beta,\gamma) = (2,\,0,\,-1).]

Passo 4

Ainda no item (a), resolver para [q(x)=4-10x-x^{2}) usando a mesma base.
  • Usamos as mesmas incógnitas \alpha,\beta,\gamma e a mesma expressão geral do lado esquerdo:
(\alpha+\gamma) + (\alpha+\beta)\,x + (\beta+\gamma)\,x^{2} = q(x).
  • Igualando coeficientes com q(x)=4-10x-1\cdot x^{2} obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+\gamma = 4,\\[4pt] \alpha+\beta = -10,\\[4pt] \beta+\gamma = -1. \end{cases}
  • Resolvo o sistema passo a passo.
    Pela segunda equação \alpha = -10 - \beta\]. Substituo na primeira: \((-10-\beta)+\gamma = 4 \Rightarrow \gamma = 14 + \beta.
    Substituo na terceira: \beta + (14+\beta) = -1 \Rightarrow 2\beta + 14 = -1 \Rightarrow 2\beta = -15 \Rightarrow \beta = -\tfrac{15}{2}.
    Então \gamma = 14 + (-\tfrac{15}{2}) = \tfrac{28-15}{2} = \tfrac{13}{2}.
    E \alpha = -10 - \beta = -10 - (-\tfrac{15}{2}) = -\tfrac{20-15}{2} = -\tfrac{5}{2}.
  • Portanto as coordenadas de q em \mathcal{B} são
\Bigl(-\tfrac{5}{2},\; -\tfrac{15}{2},\; \tfrac{13}{2}\Bigr).]

Passo 5

Agora o item (b). Primeiro [p(x)=1+2x-x^{3}) com \mathcal{B}=\{1,\;1-x,\;1-x^{2},\;1-x^{3}\}.
  • Coloco incógnitas a,b,c,d tais que
a\cdot 1 + b(1-x) + c(1-x^{2}) + d(1-x^{3}) = p(x).
  • Expando e agrupo coeficientes (faço isso com calma porque é essencial entender como cada base contribui):
    • termo constante: a + b + c + d,
    • coeficiente de x: -b,
    • coeficiente de x^{2}: -c,
    • coeficiente de x^{3}: -d.
      Assim a combinação é
(a+b+c+d) + (-b)\,x + (-c)\,x^{2} + (-d)\,x^{3}.
  • Igualo aos coeficientes de p(x)=1+2x+0\cdot x^{2}-1\cdot x^{3}. Obtenho o sistema simples
\begin{cases} a+b+c+d = 1,\\[4pt] -b = 2,\\[4pt] -c = 0,\\[4pt] -d = -1. \end{cases}
  • Resolvo imediatamente as equações fáceis:
    -b=2\Rightarrow b=-2.\] \(-c=0\Rightarrow c=0.
    -d=-1\Rightarrow d=1.
    Substituo na primeira: a + (-2) + 0 + 1 = 1\Rightarrow a -1 = 1\Rightarrow a = 2.
  • Assim as coordenadas de p em \mathcal{B} (item b) são
(a,b,c,d) = (2,\,-2,\,0,\,1).]

Passo 6

Item (b) para [q(x)=-7-10x{2}-x{3}) com a mesma base.
  • Usamos a mesma expansão geral:
(a+b+c+d) + (-b)\,x + (-c)\,x^{2} + (-d)\,x^{3} = q(x).
  • Igualando coeficientes com q(x)=-7 + 0\cdot x -10\cdot x^{2} -1\cdot x^{3} dá o sistema
\begin{cases} a+b+c+d = -7,\\[4pt] -b = 0,\\[4pt] -c = -10,\\[4pt] -d = -1. \end{cases}
  • Resolvo direto:
    -b=0\Rightarrow b=0.\] \(-c=-10\Rightarrow c=10.
    -d=-1\Rightarrow d=1.
    Substituo na primeira: a + 0 + 10 + 1 = -7\Rightarrow a + 11 = -7\Rightarrow a = -18.
  • Portanto as coordenadas de q em \mathcal{B} (item b) são
(a,b,c,d) = (-18,\,0,\,10,\,1).]

Resposta

(a) p:\\ (2,\,0,\,-1)
(a) q:\\ \left(-\tfrac{5}{2},\,-\tfrac{15}{2},\,\tfrac{13}{2}\right)
(b) p:\\ (2,\,-2,\,0,\,1)
(b) q:\\ (-18,\;0,\;10,\;1)

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