Mostre que o conjunto
é uma base de
.
Passo 1
O enunciado é curto: “Mostre que o conjunto
é uma base de
.”
Informações explícitas que temos:
Informações explícitas que temos:
- O conjunto em questão é
. - O enunciado pede para mostrar que esse conjunto é uma base de um espaço vetorial
.
Observação importante (esclarecendo uma ambiguidade do enunciado): o problema não diz qual é exatamente o espaço vetorial
. Para poder provar algo preciso escolher uma interpretação razoável. Vou trabalhar com a interpretação padrão e mais provável para esse tipo de exercício: assumir que
(os números reais) visto como espaço vetorial sobre o corpo
. Também comentarei, lá na frente, a outra interpretação natural (quando
).
Portanto, a pergunta que vou responder é: mostrar que
é uma base de
(com escalares em
).
Passo 2
O que significa ser uma base? Vou lembrar a definição de forma bem clara e simples.
Definição: um subconjunto
de um espaço vetorial
é uma base de
se e somente se duas propriedades ocorrerem simultaneamente:
Aqui:
- “Linearmente independente” significa que, se uma combinação linear finita
com
implica que todos os escalares
são zero. No nosso caso
terá só um elemento, então a combinação tem formato simples.
- “
” significa o conjunto de todas as combinações lineares finitas dos vetores de .
Agora aplicamos essa definição ao conjunto
no espaço
.]
Passo 3
Mostrando que
gera
(parte de geração / spanning).
Queremos provar que qualquer
pode ser escrito como múltiplo escalar de
, isto é, que existe um escalar
tal que
Uma escolha óbvia é
. De fato, para qualquer
vale
Explicando devagar: a operação
é multiplicação usual de números reais; por associatividade e propriedades dos números reais, isso dá exatamente
. Assim todo
é uma combinação linear (com um único coeficiente) do elemento
. Logo
Então a propriedade (ii) da definição de base está satisfeita.
Passo 4
Mostrando que
é linearmente independente.
Para um conjunto com um único vetor
(aqui
), a definição de linear independência diz: se
e
então
deve ser
. Aplicando ao nosso caso: suponha que exista
tal que
Nos reais, o único número que multiplicado por
dá
é
(porque
não tem divisores de zero e
). Dividindo ambos os lados por
obtemos
. Portanto a única combinação linear de
que dá
é a combinação trivial. Concluímos que
é linearmente independente.
Passo 5
Concluindo a prova (juntando as duas propriedades).
Mostramos em
Passo 6
Além disso, vale comentar que a dimensão de
como espaço vetorial sobre
é
, e
é um conjunto com um elemento — bases de um espaço de dimensão
têm exatamente um vetor.
Passo 7
Observação adicional (interpretação alternativa do enunciado).
Se o enunciado quisesse dizer
(ou seja,
é o subespaço gerado por
), a conclusão também é imediata: por definição
é o conjunto de todos os múltiplos escalares de
, e
não é o vetor zero, então
gera
e é linearmente independente; portanto
é base de
. Essa é outra leitura natural e consistente do problema.