Mostre que o conjunto {2} é uma base de V.

Passo 1

O enunciado é curto: “Mostre que o conjunto \{2\} é uma base de V.”
Informações explícitas que temos:
  • O conjunto em questão é \{2\}.
  • O enunciado pede para mostrar que esse conjunto é uma base de um espaço vetorial V.
Observação importante (esclarecendo uma ambiguidade do enunciado): o problema não diz qual é exatamente o espaço vetorial V. Para poder provar algo preciso escolher uma interpretação razoável. Vou trabalhar com a interpretação padrão e mais provável para esse tipo de exercício: assumir que V=\mathbb{R} (os números reais) visto como espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}. Também comentarei, lá na frente, a outra interpretação natural (quando V=\operatorname{span}\{2\}).
Portanto, a pergunta que vou responder é: mostrar que \{2\} é uma base de V=\mathbb{R} (com escalares em \mathbb{R}).

Passo 2

O que significa ser uma base? Vou lembrar a definição de forma bem clara e simples.
Definição: um subconjunto B de um espaço vetorial V é uma base de V se e somente se duas propriedades ocorrerem simultaneamente:
\begin{aligned} &\text{(i) }\;B\text{ é linearmente independente;}\\[4pt] &\text{(ii) }\;B\text{ gera }V\text{, ou seja } \operatorname{span}(B)=V. \end{aligned}é
Aqui:
  • “Linearmente independente” significa que, se uma combinação linear finita
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n = 0
com v_i\in B implica que todos os escalares a_i são zero. No nosso caso B terá só um elemento, então a combinação tem formato simples.
  • \operatorname{span}(B)” significa o conjunto de todas as combinações lineares finitas dos vetores de B.
Agora aplicamos essa definição ao conjunto B=\{2\} no espaço V=\mathbb{R}.]

Passo 3

Mostrando que \{2\} gera \mathbb{R} (parte de geração / spanning).
Queremos provar que qualquer x\in\mathbb{R} pode ser escrito como múltiplo escalar de 2, isto é, que existe um escalar \lambda\in\mathbb{R} tal que
x=\lambda\cdot 2.
Uma escolha óbvia é \lambda=\dfrac{x}{2}. De fato, para qualquer x\in\mathbb{R} vale
\frac{x}{2}\cdot 2 = x.
Explicando devagar: a operação \frac{x}{2}\cdot 2 é multiplicação usual de números reais; por associatividade e propriedades dos números reais, isso dá exatamente x. Assim todo x é uma combinação linear (com um único coeficiente) do elemento 2. Logo
\operatorname{span}\{\,2\,\}=\mathbb{R}.
Então a propriedade (ii) da definição de base está satisfeita.

Passo 4

Mostrando que \{2\} é linearmente independente.
Para um conjunto com um único vetor v (aqui v=2), a definição de linear independência diz: se a\in\mathbb{R} e
a\cdot v = 0
então a deve ser 0. Aplicando ao nosso caso: suponha que exista a\in\mathbb{R} tal que
a\cdot 2 = 0.
Nos reais, o único número que multiplicado por 2 0 é 0 (porque \mathbb{R} não tem divisores de zero e 2\neq 0). Dividindo ambos os lados por 2 obtemos a=0. Portanto a única combinação linear de 2 que dá 0 é a combinação trivial. Concluímos que \{2\} é linearmente independente.

Passo 5

Concluindo a prova (juntando as duas propriedades).
Mostramos em

Passo 6

Além disso, vale comentar que a dimensão de \mathbb{R} como espaço vetorial sobre \mathbb{R} é 1, e \{2\} é um conjunto com um elemento — bases de um espaço de dimensão 1 têm exatamente um vetor.

Passo 7

Observação adicional (interpretação alternativa do enunciado).
Se o enunciado quisesse dizer V=\operatorname{span}\{2\} (ou seja, V é o subespaço gerado por 2), a conclusão também é imediata: por definição V é o conjunto de todos os múltiplos escalares de 2, e 2 não é o vetor zero, então \{2\} gera V e é linearmente independente; portanto \{2\} é base de V. Essa é outra leitura natural e consistente do problema.

Resposta

\{2\} é uma base de V=\mathbb{R}.

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