52 Um corpo de massa \mathrm{m}=0,5 \mathrm{~kg} move-se ao longo de um eixo, sob a ação de uma única força F, com velocidade v(t) em metros/segundo, em função do tempo t, em segundos, dada por \mathrm{v}(\mathrm{t})=-2 \mathrm{t}-2. Entre os instantes \mathrm{t}=0 \mathrm{e} \mathrm{t}=4 \mathrm{~s}, a variação da energia cinética desse corpo e o trabalho realizado pela força F são, em joules, respectivamente, iguais a
a) 24 e zero
b) 48 e zero
c) 48 e 48
d) 24 e 24
e) 4 e 4

Passo 1

O enunciado diz que um corpo de massa m=0,5\\ \mathrm{kg} move-se segundo a função de velocidade
v(t)=-2\,t-2
entre os instantes t=0 e t=4\\ \mathrm{s}. Pede-se a variação da energia cinética \Delta K e o trabalho W da força F. Vamos usar a definição de energia cinética
K=\tfrac12\,m\,v^2
e o teorema trabalho-energia (ou calcular W diretamente como F\Delta x).

Passo 2

Calculamos as velocidades inicial e final:
v(0)=-2\quad\mathrm{m/s}, \qquad v(4)=-2\cdot4-2=-10\quad\mathrm{m/s}.

Passo 3

A variação da energia cinética é
\Delta K =\tfrac12\,m\bigl[v(4)^2 - v(0)^2\bigr] =\tfrac12\cdot0,5\bigl[(-10)^2-(-2)^2\bigr] =0,25\,(100-4) =24\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Para achar o trabalho diretamente, note que
a=\frac{dv}{dt}=-2\\ \mathrm{m/s^2}, \quad F=m\,a=0,5\cdot(-2)=-1\\ \mathrm{N}.
A posição é
x(t)=\int v(t)\,dt=-t^2-2t+C,
tomando x(0)=0 C=0 e
\Delta x=x(4)-x(0)=-16-8=-24\\ \mathrm{m}.
Logo
W=F\,\Delta x=(-1)\times(-24)=24\\ \mathrm{J}.

Resposta

24 e 24

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