49 A energia potencial armazenada em uma mola, quando as suas extremidades estão separadas por uma distância x, é dada por U(x)=\alpha x^{2}-\beta x+\gamma, onde \alpha, \beta e \gamma são constantes positivas. O comprimento natural da mola é
a) nulo
b) \beta / \alpha
c) \beta /(2 \alpha)
d) \gamma / \beta
e) \left\{-\beta+\sqrt{\beta^{2}-4 \alpha \gamma} \int_{\int}^{\int} / \alpha\right.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial de uma mola como
U(x)=\alpha x^{2}-\beta x+\gamma
com \alpha,\beta,\gamma>0, e pede o comprimento natural da mola, ou seja, o afastamento x em que a energia é mínima. Para resolver, vamos usar cálculo de derivadas para encontrar o ponto de mínimo de U(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de U(x) em relação a x:
\frac{dU}{dx}=2\alpha x-\beta.
No ponto de equilíbrio (comprimento natural) essa derivada deve ser zero, pois é onde a energia potencial atinge mínimo.

Passo 3

Igualando a derivada a zero,
2\alpha x-\beta=0
x=\frac{\beta}{2\alpha}.
Para confirmar que é mínimo, basta ver que a segunda derivada \frac{d^2U}{dx^2}=2\alpha>0.

Resposta

\displaystyle \frac{\beta}{2\alpha}

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