52 Determine o conjunto solução do sistema:
\left(\begin{array}{l} \frac{x-a}{b}+\frac{y-b}{a}=0 \\\ \frac{x+y-b}{a}+\frac{x-y-a}{b}=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema em x e y que envolve parâmetros a e b:
\begin{cases} \displaystyle \frac{x - a}{b} + \frac{y - b}{a} = 0,\\[1em] \displaystyle \frac{x + y - b}{a} + \frac{x - y - a}{b} = 0. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistema linear em duas variáveis após eliminar frações.]

Passo 2

Multiplicamos a primeira equação por ab para eliminar denominadores:
a(x - a) + b(y - b) = 0 \quad\Longrightarrow\quad ax - a^2 + by - b^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad ax + by = a^2 + b^2.

Passo 3

Multiplicamos a segunda equação por ab:
b\,(x + y - b) + a\,(x - y - a) = 0 \quad\Longrightarrow\quad bx + by - b^2 + ax - ay - a^2 = 0
Agrupando termos:
(a + b)\,x + (b - a)\,y = a^2 + b^2.

Passo 4

Agora temos o sistema linear
\begin{cases} ax + by = a^2 + b^2,\\\ (a + b)x + (b - a)y = a^2 + b^2. \end{cases}
O determinante da matriz dos coeficientes é
\Delta = \begin{vmatrix}a & b \\[0.3em] a+b & b-a\end{vmatrix} = a(b - a) - b(a + b) = -\bigl(a^2 + b^2\bigr)\neq 0 \quad(\text{para }a\neq 0\text{ e }b\neq 0).
Pelo método de Cramer,
x = \frac{1}{\Delta} \begin{vmatrix} a^2 + b^2 & b \\[0.3em] a^2 + b^2 & b-a \end{vmatrix} = \frac{(a^2+b^2)(b - a) - b(a^2+b^2)}{-\,(a^2+b^2)} = a,
y = \frac{1}{\Delta} \begin{vmatrix} a & a^2 + b^2 \\[0.3em] a+b & a^2 + b^2 \end{vmatrix} = \frac{a(a^2+b^2) - (a+b)(a^2+b^2)}{-\,(a^2+b^2)} = b.]

Passo 5

Verificamos que (x,y)=(a,b) satisfaz ambas as equações originais e que o determinante não anula (exigindo a\neq0 e b\neq0). Logo, é solução única.

Resposta

\{(x,y)\} = \{(a,b)\}.

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