8.53 Um tubo (diâmetro =914 \mathrm{~mm} ) é utilizado para transportar ar num túnel de vento. Um teste do equipamento mostrou que a queda de pressão do escoamento de ar num trecho de tubo com 457,2 m é 38,1 \mathrm{~mm} de coluna d’água quando a vazão no tubo é 4,25 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Qual é o valor do fator de atrito neste escoamento? Qual a dimensão aproximada da rugosidade equivalente encontrada na superfície interna deste tubo?
\frac{p_{1}}{\gamma}+\frac{V_{1}^{2}}{2 g}+z_{1}=\frac{p_{2}}{\gamma}+\frac{V_{2}^{2}}{2 g}+z_{2}+f \frac{f}{D} \frac{V^{2}}{2 g}, where z_{1}=z_{2}, V_{1}=V_{2}, and
p_{1}-p_{2}=\gamma_{H_{2} O} h=\left(62.4 \frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}^{3}}\right)\left(\frac{1.5}{12} \mathrm{ft}\right)=7.80 \frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}^{2}}
Also, V=\frac{Q}{A}=\frac{\left(9000 \frac{\mathrm{ft}^{3}}{\mathrm{~m}}\right)\left(\frac{1 \mathrm{~min}}{60 \mathrm{~s}}\right)}{\frac{\pi}{4}(3 \mathrm{ft})^{2}}=21.2 \frac{\mathrm{ft}}{\mathrm{s}}
Thus, from Eq. (1) p_{1}-p_{2}=f \frac{l}{D} \frac{1}{2} \rho V^{2} or f=\frac{2 D\left(p_{1}-p_{2}\right)}{\rho l V^{2}}=\frac{2(3 \mathrm{ft})\left(7.80 \frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}^{2}}\right)}{\left(2.38 \times 10^{-3} \frac{\mathrm{~s} 1 \mathrm{log}}{\mathrm{ft}^{3}}\right)(1500 \mathrm{ft})\left(21.2 \frac{\mathrm{ft}}{\mathrm{s}}\right)^{2}}=0.0292
From Fig. 8.20 with f=0.0292 and \operatorname{Re}=\frac{V D}{V}=\frac{\left(21.2 \frac{\mathrm{ft}}{5}\right)(3 \mathrm{ft})}{1.57 \times 10^{-4} \frac{\mathrm{ft}^{2}}{\mathrm{~s}}}=4.05 \times 10^{5} we obtain \frac{\varepsilon}{D}=0.0044 Thus, \varepsilon=0.0044(3 \mathrm{ft})=0.0132 \mathrm{ft}

Passo 1

O enunciado descreve um tubo de diâmetro interno D=0{,}914\\ \mathrm{m} e comprimento L=457{,}2\\ \mathrm{m}, por onde escoa ar com vazão Q=4{,}25\\ \mathrm{m^3/s}. Mediu-se uma queda de pressão equivalente a h=38{,}1\\ \mathrm{mm} de coluna d’água. Pede-se o fator de atrito f (pela equação de Darcy–Weisbach) e a rugosidade equivalente \varepsilon do tubo, que será obtida a partir do número de Reynolds e do fator de atrito via equação de Colebrook.

Passo 2

Calcular a velocidade média V a partir de
A = \frac{\pi D^2}{4},\quad V = \frac{Q}{A}.
Temos
A = \frac{\pi (0{,}914)^2}{4} = 0{,}6548\\ \mathrm{m^2}, \qquad V = \frac{4{,}25}{0{,}6548} = 6{,}49\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Converter a queda de pressão em \Delta p usando água como fluido de ensaio:
\Delta p = \rho_{\mathrm{H_2O}}\,g\,h = (1000\\ \mathrm{kg/m^3})(9{,}81\\ \mathrm{m/s^2})(0{,}0381\\ \mathrm{m}) =373{,}8\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

A equação de Darcy–Weisbach para perda de carga h_f=\Delta p/(\rho g) em escoamento uniforme ( V_1=V_2, z_1=z_2) é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Isolando f, usando \Delta p=\rho g\,h_f:
f = \frac{2\,\Delta p\,D}{\rho_{\text{ar}}\,V^2\,L}.
Com \rho_{\text{ar}}\approx1{,}20\\ \mathrm{kg/m^3}, obtém-se
f = \frac{2\,(373{,}8)\,(0{,}914)}{(1{,}20)\,(6{,}49)^2\,(457{,}2)} \approx0{,}0295.

Passo 5

Calcular o número de Reynolds do ar:
\mathrm{Re} = \frac{\rho_{\text{ar}}\,V\,D}{\mu_{\text{ar}}},
adotando \mu_{\text{ar}}\approx1{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}:
\mathrm{Re} = \frac{(1{,}20)(6{,}49)(0{,}914)}{1{,}8\times10^{-5}} \approx3,96\times10^5.

Passo 6

Usar a equação de Colebrook para obter \varepsilon/D:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\,\log_{10}\!\Bigl(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7} \;+\;\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\,\sqrt{f}}\Bigr).
Substituindo f=0{,}0295 e \mathrm{Re}=3,96\times10^5, resolve-se numericamente para
\frac{\varepsilon}{D}\approx4{,}4\times10^{-3},
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\varepsilon = 4{,}4\times10^{-3}\times0{,}914\\ \mathrm{m} \approx4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} =4{,}0\\ \mathrm{mm}.

Resposta

O fator de atrito é aproximadamente
f \approx 0{,}0295,
e a rugosidade equivalente do tubo é da ordem de
\varepsilon \approx 4{,}0\\ \mathrm{mm}.

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