Quando água é bombeada através de uma tubulação A, posicionada na horizontal, com uma vazão de 0,20 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, a queda de pressão é de 60 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}. Quando água é bombeada através de uma tubulação B, também na horizontal, com uma vazão de 0,15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, a queda de pressão é de 50 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}. Com base nessas informações, determine a queda de pressão que ocorre quando a vazão de 0,17 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água é bombeada através das duas tubulações, se elas são conectadas em:
(a) Série
(b) Paralelo.
Despreze perdas de carga localizadas e as cargas de energia cinética. Use a fórmula de Darcy-Weisbach.
[ Resp: (a) \Delta \mathrm{Hs}=107,57 \mathrm{kN} / \mathrm{m} 2, (b) \Delta \mathrm{Hp}=13,09 \mathrm{kN} / \mathrm{m} 2 ]

Passo 1

O enunciado envolve duas tubulações horizontais A e B pelas quais a água escoa. Pelo enunciado sabemos que em cada tubulação a perda de carga segue a fórmula de Darcy–Weisbach e, em regime plenamente turbulento com rugosidade constante, a perda de carga \Delta p é proporcional ao quadrado da vazão Q:
\Delta p = K\,Q^2,
onde K é uma constante que depende da geometria da tubulação, da rugosidade e da densidade do fluido. Nosso objetivo é:
– Calcular K_A e K_B a partir dos dados fornecidos.
– (a) Para escoamento em série (mesma vazão em A e B), obter \Delta p_s para Q=0{,}17.
– (b) Para escoamento em paralelo (mesma \Delta p em ambas, vazões Q_A e Q_B somam 0{,}17), encontrar \Delta p_p.

Passo 2

Determinar as constantes K_A e K_B a partir dos dois casos conhecidos:
– Em A: Q_A=0{,}20,m³/s e \Delta p_A=60,kN/m² =60000,Pa, logo
K_A = \frac{\Delta p_A}{Q_A^2} = \frac{60000}{(0{,}20)^2} = \frac{60000}{0{,}04} =1{,}5\times10^{6}\\ \text{Pa·s}^2\!\big/m^6.
– Em B: Q_B=0{,}15,m³/s e \Delta p_B=50,kN/m² =50000,Pa, logo
K_B = \frac{\Delta p_B}{Q_B^2} = \frac{50000}{(0{,}15)^2} = \frac{50000}{0{,}0225} \approx2{,}2222\times10^{6}\\ \text{Pa·s}^2\!\big/m^6.

Passo 3

Caso (a) – ligação em série: a mesma vazão Q=0{,}17,m³/s atravessa A e B, então
\Delta p_{A}(0{,}17) = K_A\,(0{,}17)^2 =1{,}5\times10^{6}\times0{,}0289 =43350\\ \text{Pa},
\Delta p_{B}(0{,}17) = K_B\,(0{,}17)^2 \approx2{,}2222\times10^{6}\times0{,}0289 =64222\\ \text{Pa}.
Somando as duas quedas de pressão,
\Delta p_s = \Delta p_{A} + \Delta p_{B} =43350 + 64222 =107572\\ \text{Pa} \approx107{,}57\\ \text{kN/m}^2.

Passo 4

Caso (b) – ligação em paralelo: a perda de carga é a mesma em ambas, digamos \Delta p_p, e as vazões se ajustam de modo que
\Delta p_p = K_A\,Q_A^2 = K_B\,Q_B^2, \quad Q_A + Q_B = 0{,}17.
Da igualdade K_A\,Q_A^2 = K_B\,Q_B^2 vem
Q_B = \sqrt{\frac{K_A}{K_B}}\;Q_A =\sqrt{\frac{1{,}5}{2{,}2222}}\;Q_A \approx0{,}8216\,Q_A.
Como Q_A+Q_B=1{,}8216\,Q_A=0{,}17, obtemos
Q_A = \frac{0{,}17}{1{,}8216}\approx0{,}0933\\ \text{m}^3\!/s, \quad Q_B\approx0{,}0767\\ \text{m}^3\!/s.
Então
\Delta p_p = K_A\,(0{,}0933)^2 =1{,}5\times10^{6}\times0{,}00871 \approx13085\\ \text{Pa} \approx13{,}09\\ \text{kN/m}^2.

Resposta

(a) \Delta p_s = 107{,}57\\ \text{kN/m}^2
(b) \Delta p_p = 13{,}09\\ \text{kN/m}^2

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