54 Determine x e y no sistema:
\left(\begin{array}{l}\frac{x+1}{m+1}+\frac{2+y}{m^{2}+m}=\frac{m+1}{m} \\\ \frac{x-2}{m^{2}-4}+\frac{y-3}{2+m}=\frac{m-3}{2+m}\end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema em x,y\) com parâmetro \(m\): \[\begin{cases} \displaystyle \frac{x+1}{m+1}+\frac{y+2}{m^2+m}=\frac{m+1}{m},\\[6pt] \displaystyle \frac{x-2}{m^2-4}+\frac{y-3}{m+2}=\frac{m-3}{m+2}. \end{cases}
Para que todas as frações existam, assumimos
m\neq -1,\;m\neq0,\;m\neq2,\;m\neq-2.
Nosso objetivo é reduzir a um sistema linear em (x,y].]

Passo 2

Multiplicamos a primeira equação por m(m+1) para eliminar denominadores:
m(x+1)+(y+2)=(m+1)\,\bigl(m+1\bigr).
Expandindo e reorganizando:
m x + m + y + 2 = m^2 + 2m +1 \quad\Longrightarrow\quad m x + y = m^2 + m -1.
Chamemos esta equação de (A).

Passo 3

Multiplicamos a segunda equação por (m-2)(m+2)=m^2-4:
(x-2)+(m-2)(y-3)=(m-3)(m-2).
Expandindo:
x-2 + m y -3m -2y +6 = m^2 -5m +6 \quad\Longrightarrow\quad x + (m-2)y = m^2 -2m +2.
Chamemos esta equação de (B).

Passo 4

Para resolver o sistema
\begin{cases} m x + y = m^2 + m -1,\\\ x + (m-2)y = m^2 -2m +2, \end{cases}
isolamos x em (A):
x = \frac{m^2 + m -1 - y}{m},
e substituímos em (B). Após multiplicar por m e agrupar termos em y, obtemos
y\,(m^2 -2m -1) = m^3 -3m^2 + m +1.
Fatorando o lado direito:
m^3 -3m^2 + m +1 = (m-1)\,(m^2 -2m -1).
Logo, se
m^2 -2m -1 \neq 0,
podemos dividir e achar
y = m - 1.

Passo 5

Substituindo y=m-1 em (A):
m x + (m-1) = m^2 + m -1 \quad\Longrightarrow\quad m x = m^2 \quad\Longrightarrow\quad x = m.
Assim, para m^2 -2m -1\neq0 (isto é, m\neq 1\pm\sqrt2), temos solução única
\boxed{x = m,\quad y = m-1.}

Passo 6

Se m^2 -2m -1=0, ou seja m=1\pm\sqrt2, o determinante do sistema é zero e as duas retas coincidem. Basta usar, por exemplo, a equação (B) sob essa condição:
x + (m-2)y = m^2 -2m +2 = 3.
Logo surgem infinitas soluções parametrizadas por y:
\boxed{x = 3 - (m-2)\,y,\quad y\in\mathbb{R},\quad m=1\pm\sqrt2.}

Resposta

Para m\neq -1,0,2,-2 e m\neq 1\pm\sqrt2:
x = m,\quad y = m-1.
Para m=1\pm\sqrt2 (aí o sistema é degenerado):
x + (m-2)y = 3 \quad\text{(infinitas soluções).}çõ

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