55 Determine o conjunto verdade do sistema
\left(\begin{array}{l}\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{4} \\\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=\frac{1}{2}\end{array}\right..
(Sugestão: Faça \frac{1}{x}=a, \frac{1}{y}=b.)

Passo 1

O enunciado pede o conjunto verdade do sistema de equações racionais
\begin{cases} \displaystyle \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{4},\\[6pt] \displaystyle \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=\frac{1}{2}, \end{cases}
ou seja, todos os pares (x,y) (com x\neq0 e y\neq0) que satisfazem ambas as equações. Vamos usar substituição para transformar em um sistema linear em duas incógnitas.]

Passo 2

Definimos
a = \frac{1}{x}, \qquad b = \frac{1}{y}.
Como x\neq0 e y\neq0, as definições fazem sentido. Substituindo no sistema original obtemos
\begin{cases} 2a + b = \frac{5}{4},\\[4pt] 3a + 4b = \frac{1}{2}. \end{cases}]

Passo 3

Para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2a + b = \tfrac{5}{4},\\\\ 3a + 4b = \tfrac{1}{2}, \end{cases}
multiplicamos a primeira equação por 4, de modo a facilitar a eliminação de b:
8a + 4b = 5.
Subtraindo a segunda equação 3a + 4b = \tfrac{1}{2} dessa, temos
(8a+4b) - (3a+4b) = 5 - \tfrac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad 5a = \frac{9}{2} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{9}{10}.

Passo 4

Substituímos a = \tfrac{9}{10} na equação 2a + b = \tfrac{5}{4}:
2\cdot\frac{9}{10} + b = \frac{5}{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{18}{10} + b = \frac{5}{4} \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{5}{4} - \frac{9}{5} = \frac{25}{20} - \frac{36}{20} = -\frac{11}{20}.

Passo 5

Voltando às variáveis originais, temos
x = \frac{1}{a} = \frac{1}{\tfrac{9}{10}} = \frac{10}{9}, \qquad y = \frac{1}{b} = \frac{1}{-\tfrac{11}{20}} = -\frac{20}{11}.

Resposta

O conjunto verdade do sistema é
\left\{\bigl(\tfrac{10}{9}, -\tfrac{20}{11}\bigr)\right\}.

Exercícios relacionados