56 Calcule x e y no sistema:
\left(\begin{array}{l}\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y+1}=5 \\\ \frac{2}{x-1}+\frac{3}{y+1}=12\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{1}{y+1}=5,\\[0.5em] \displaystyle \frac{2}{x-1}+\frac{3}{y+1}=12 \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear por substituição de variáveis através de uma mudança de parâmetro.]

Passo 2

Definimos
u = \frac{1}{x-1}, \quad v = \frac{1}{y+1}.
Então o sistema em (x,y) fica um sistema linear em (u,v):
\begin{cases} u + v = 5,\\\\ 2u + 3v = 12. \end{cases}

Passo 3

Vamos resolver o sistema em (u,v) por eliminação. Multiplicando a primeira equação por 2 temos
2u + 2v = 10.
Subtraindo essa equação da segunda:
(2u+3v)-(2u+2v)=12-10 \quad\Longrightarrow\quad v = 2.
Substituindo v=2 em u+v=5
u = 5 - 2 = 3.

Passo 4

Voltando às variáveis originais:
u = \frac{1}{x-1} = 3 \quad\Longrightarrow\quad x-1 = \frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad x = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3},
v = \frac{1}{y+1} = 2 \quad\Longrightarrow\quad y+1 = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad y = -1 + \frac{1}{2} = -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Verificamos as condições de existência: x\neq1 e y\neq -1. Como \tfrac{4}{3}\neq1 e -\tfrac{1}{2}\neq-1, as soluções são válidas.

Resposta

x = \frac{4}{3}, \quad y = -\tfrac{1}{2}.

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