1.55 (UnB - Universidade de Brasília)

Dada a matriz identidade:
I=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)
mostre que para qualquer vetor v vale:
I v=v

Passo 1

O enunciado dá a matriz identidade e pede para mostrar uma igualdade envolvendo um vetor. Informações fornecidas:
  • A matriz identidade (2×2) é
I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • O vetor v é um vetor qualquer (coluna) em \mathbb{R}^2. Podemos representar seus componentes como
v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix},
onde v_1 e v_2 são números reais quaisquer.
  • O que se pede: provar que
I v = v
para qualquer vetor v dessas características.]

Passo 2

Entender o que significa multiplicar uma matriz 2\times2 por um vetor coluna 2\times1. Seja
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix}.
A definição de multiplicação matriz–vetor (modo padrão, “linha por coluna”) diz que o produto A v é o vetor coluna cujas entradas são somas de produtos das entradas da linha de A pelos componentes de v. Explicitamente:
A v = \begin{pmatrix} a_{11}v_1 + a_{12}v_2\\[6pt] a_{21}v_1 + a_{22}v_2 \end{pmatrix}.
Explicação intuitiva: a primeira componente do resultado combina a primeira linha de A com o vetor v; a segunda componente combina a segunda linha de A com v. Outra vista equivalente (útil depois) é ver A v como combinação linear das colunas de A com coeficientes v_1,v_2.]

Passo 3

Agora aplicamos essa regra ao caso particular em que A=I. As entradas de I são a_{11}=1, a_{12}=0, a_{21}=0, a_{22}=1. Usando a fórmula do passo anterior:
I v = \begin{pmatrix} 1\cdot v_1 + 0\cdot v_2\\[6pt] 0\cdot v_1 + 1\cdot v_2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculemos as somas que aparecem no produto:
1\cdot v_1 + 0\cdot v_2 = v_1, \qquad 0\cdot v_1 + 1\cdot v_2 = v_2.
Portanto
I v = \begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix} = v.]

Passo 5

Intuição e confirmação com exemplo numérico (para fixar): se v=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix}, então
I v = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot2+0\cdot5\\[6pt]0\cdot2+1\cdot5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix},
ou seja, não mudou nada — faz sentido pensar em I como o “1” das matrizes.]

Passo 6

Generalização rápida para dimensão n\): a matriz identidade \(I_n\) tem entradas \((I_n)_{ij}=\delta_{ij}\), onde \[\delta_{ij}=\begin{cases}1,&\text{se }i=j,\\[4pt]0,&\text{se }i\neq j.\end{cases}
Para um vetor v\in\mathbb{R}^n\] vale \[(I_n v)_i=\sum_{j=1}^n (I_n)_{ij}v_j=\sum_{j=1}^n \delta_{ij}v_j=v_i,\] pois a soma com \(\delta_{ij} seleciona apenas o termo j=i. Assim I_n v=v em toda dimensão.]

Resposta

I v = v

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