A definição de multiplicação matriz–vetor (modo padrão, “linha por coluna”) diz que o produto A v é o vetor coluna cujas entradas são somas de produtos das entradas da linha de A pelos componentes de v. Explicitamente:
A v = \begin{pmatrix} a_{11}v_1 + a_{12}v_2\\[6pt] a_{21}v_1 + a_{22}v_2 \end{pmatrix}.
Explicação intuitiva: a primeira componente do resultado combina a primeira linha de A com o vetor v; a segunda componente combina a segunda linha de A com v. Outra vista equivalente (útil depois) é ver A v como combinação linear das colunas de A com coeficientes v_1,v_2.]
Passo 3
Agora aplicamos essa regra ao caso particular em que A=I. As entradas de I são a_{11}=1, a_{12}=0, a_{21}=0, a_{22}=1. Usando a fórmula do passo anterior:
I v = \begin{pmatrix} 1\cdot v_1 + 0\cdot v_2\\[6pt] 0\cdot v_1 + 1\cdot v_2 \end{pmatrix}.]
I v = \begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix} = v.]
Passo 5
Intuição e confirmação com exemplo numérico (para fixar): se v=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix}, então
I v = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot2+0\cdot5\\[6pt]0\cdot2+1\cdot5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix},
ou seja, não mudou nada — faz sentido pensar em I como o “1” das matrizes.]
Passo 6
Generalização rápida para dimensão n\): a matriz identidade \(I_n\) tem entradas \((I_n)_{ij}=\delta_{ij}\), onde
\[\delta_{ij}=\begin{cases}1,&\text{se }i=j,\\[4pt]0,&\text{se }i\neq j.\end{cases}
Para um vetor v\in\mathbb{R}^n\] vale
\[(I_n v)_i=\sum_{j=1}^n (I_n)_{ij}v_j=\sum_{j=1}^n \delta_{ij}v_j=v_i,\]
pois a soma com \(\delta_{ij} seleciona apenas o termo j=i. Assim I_n v=v em toda dimensão.]