Escreva o domínio das funções a seguir e faça um esboco.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede: determinar o domínio da função e fazer um esboço (um desenho esquemático do conjunto).
- Dá: a função
.
Passo 2
Entendendo a restrição do logaritmo: para que
esteja definida, o argumento do logaritmo tem que ser estritamente positivo. Ou seja, para qualquer ponto
do domínio deve valer
Isto é a condição básica que vamos transformar para identificar geometricamente o domínio.
Passo 3
Manipulando a desigualdade para uma forma conhecida:
somando
aos dois lados:
Agora dividindo ambos os lados por
(número positivo, logo não inverte a desigualdade):
Simplificando os coeficientes:
Esta é a desigualdade padrão que descreve o interior de uma elipse centrada na origem. Para entender cada termo:
significa que o semi-eixo no sentido
é
;
significa que o semi-eixo no sentido
é
.
Passo 4
Interpretação geométrica e observações importantes:
- A fronteira da região é a elipse dada por
, ou equivalentemente . - Como a desigualdade é estrita
, a fronteira não pertence ao domínio; o domínio é o interior aberto da elipse. - Alguns testes rápidos para fixar a ideia:
- No ponto
: . Logo está no domínio. - No ponto
: . Como o argumento do log é , NÃO pertence ao domínio. - No ponto
: . Também excluído. - No ponto
: . Logo fora do domínio.
- No ponto
- Para desenhar a fronteira da elipse de forma parametrizada pode-se usar
Passo 5
Instruções práticas para o esboço (como desenhar à mão, passo a passo):
- Desenhe o plano cartesiano com eixos
e . - Marque os pontos
e no eixo ; esses são os interceptos horizontais da elipse. - Marque os pontos
e no eixo ; esses são os interceptos verticais. - Trace uma curva suave passando por esses quatro pontos formando uma elipse centrada na origem.
- Como a fronteira não pertence ao domínio, desenhe a elipse com traço pontilhado ou tracejado (ou simplesmente deixe-a fina) para indicar exclusão.
- Sombreie ou preencha a região interior à elipse (sem incluir a fronteira) — essa área sombreada é exatamente o domínio de
. - Se quiser, marque um ponto interior como
e escreva “válido: ” para lembrar a condição.