Escreva o domínio das funções a seguir e faça um esboco.
f(x, y)=\ln \left(16-4 x^{2}-y^{2}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: determinar o domínio da função e fazer um esboço (um desenho esquemático do conjunto).
  • Dá: a função \displaystyle f(x,y)=\ln\!\bigl(16-4x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 2

Entendendo a restrição do logaritmo: para que \ln esteja definida, o argumento do logaritmo tem que ser estritamente positivo. Ou seja, para qualquer ponto (x,y) do domínio deve valer
16-4x^{2}-y^{2}>0.
Isto é a condição básica que vamos transformar para identificar geometricamente o domínio.

Passo 3

Manipulando a desigualdade para uma forma conhecida:
16-4x^{2}-y^{2}>0
somando 4x^{2}+y^{2} aos dois lados:
4x^{2}+y^{2}<16.
Agora dividindo ambos os lados por 16 (número positivo, logo não inverte a desigualdade):
\frac{4x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{16}<1.
Simplificando os coeficientes:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}<1.
Esta é a desigualdade padrão que descreve o interior de uma elipse centrada na origem. Para entender cada termo: \dfrac{x^{2}}{4} significa que o semi-eixo no sentido x é \sqrt{4}=2; \dfrac{y^{2}}{16} significa que o semi-eixo no sentido y é \sqrt{16}=4.

Passo 4

Interpretação geométrica e observações importantes:
  • A fronteira da região é a elipse dada por \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{16}=1, ou equivalentemente 4x^{2}+y^{2}=16.
  • Como a desigualdade é estrita (<1), a fronteira não pertence ao domínio; o domínio é o interior aberto da elipse.
  • Alguns testes rápidos para fixar a ideia:
    • No ponto (0,0): 16-4\cdot0^{2}-0^{2}=16>0. Logo (0,0) está no domínio.
    • No ponto (2,0): 16-4\cdot2^{2}-0^{2}=16-16=0. Como o argumento do log é 0, (2,0) NÃO pertence ao domínio.
    • No ponto (0,4): 16-0-4^{2}=16-16=0. Também excluído.
    • No ponto (3,0): 16-4\cdot9=16-36=-20<0. Logo fora do domínio.
  • Para desenhar a fronteira da elipse de forma parametrizada pode-se usar
x=2\cos t,\qquad y=4\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).

Passo 5

Instruções práticas para o esboço (como desenhar à mão, passo a passo):
  1. Desenhe o plano cartesiano com eixos x e y.
  2. Marque os pontos (2,0) e (-2,0) no eixo x; esses são os interceptos horizontais da elipse.
  3. Marque os pontos (0,4) e (0,-4) no eixo y; esses são os interceptos verticais.
  4. Trace uma curva suave passando por esses quatro pontos formando uma elipse centrada na origem.
  5. Como a fronteira não pertence ao domínio, desenhe a elipse com traço pontilhado ou tracejado (ou simplesmente deixe-a fina) para indicar exclusão.
  6. Sombreie ou preencha a região interior à elipse (sem incluir a fronteira) — essa área sombreada é exatamente o domínio de f.
  7. Se quiser, marque um ponto interior como (0,0) e escreva “válido: \,16-4x^{2}-y^{2}>0” para lembrar a condição.

Resposta

\displaystyle D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 4x^{2}+y^{2}<16\bigr\}

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