55.Sejam P e Q polinômios.Encontre
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)},
onde P e Q são polinômios. O que precisamos usar é o comportamento assintótico dos polinômios, que é determinado pelos seus termos de maior grau (termos dominantes).

Passo 2

Sejam
m = \deg P,\quad n = \deg Q,
e sejam
P(x)=a_m x^m+\text{(termos de grau inferior)},\qquad Q(x)=b_n x^n+\text{(termos de grau inferior)},
onde a_m e b_n são os coeficientes dominantes (não nulos).

Passo 3

Se m<n, então ao dividir por x^n no numerador e denominador, o numerador fica de ordem x^{m-n} com m-n<0, portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0.

Passo 4

Se m=n, ao dividir tudo por x^n sobra
\lim_{x\to\infty}\frac{a_m+\text{(termos que vão a 0)}}{b_n+\text{(termos que vão a 0)}} =\frac{a_m}{b_n}.ãã

Passo 5

Se m>n, ao dividir por x^n sobra um fator x^{m-n} no numerador com m-n>0, logo a razão tende a infinito em valor absoluto. Como x\to\infty, o sinal do limite é o sinal de \tfrac{a_m}{b_n}, isto é,
\lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}= \begin{cases} +\infty,&\text{se }\tfrac{a_m}{b_n}>0,\\\\ -\infty,&\text{se }\tfrac{a_m}{b_n}<0. \end{cases}

Resposta

Sejam m=\deg P e n=\deg Q com coeficientes dominantes a_m e b_n. Então
\lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}= \begin{cases} 0,&m<n,\\\ \dfrac{a_m}{b_n},&m=n,\\\\ +\infty\text{ ou }-\infty\text{ conforme o sinal de }\tfrac{a_m}{b_n},&m>n. \end{cases}

Exercícios relacionados