4.54 A superficie interna de um cilindro oco pressurizado intemamente a 100 MPa está sujeita às tensốes tangencial e axial de 600 e 200 MPa , respectivamente. Construa um círculo de Mohr representando as tensöes atuantes na superficie interna. Qual é o valor da tenslo cisalhante máxima atuante na superficie interna?
[Resp:- 350 MPa ]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) construir (ou descrever) o círculo de Mohr representando as tensões atuantes na superfície interna do cilindro; (2) determinar o valor da tensão cisalhante máxima que atua nessa superfície interna.
As informações dadas pelo enunciado são: a pressão interna é 100\\ \text{MPa}, a tensão tangencial (circunferencial, “hoop”) na superfície interna é 600\\ \text{MPa} e a tensão axial é 200\\ \text{MPa}. Estas são todas as informações numéricas fornecidas.

Passo 2

Entendendo as tensões e o sinal: vamos adotar a convenção usual em problemas de resistência dos materiais — tensões trativas (de tração) são positivas e tensões compressivas são negativas. A pressão interna aplicada sobre a superfície interna gera uma tensão radial no ponto da superfície igual, em valor, à pressão mas compressiva. Logo a tensão radial na superfície interna é
\sigma_r = -100\\ \text{MPa}.
Expliquei isso porque a pressão interna empurra para dentro (compressão) na direção radial; por isso o sinal negativo.

Passo 3

Identificação das tensões normais principais no ponto da superfície interna: as direções naturais do cilindro (circunferencial, axial e radial) são eixos principais — ou seja, não há cisalhamento entre essas direções no estado de tensões dado. Portanto as três tensões principais são:
\sigma_\theta = 600\\ \text{MPa},\qquad \sigma_z = 200\\ \text{MPa},\qquad \sigma_r = -100\\ \text{MPa}.
Ordenando por valor (do maior ao menor) obtemos
\sigma_1 = 600\\ \text{MPa},\quad \sigma_2 = 200\\ \text{MPa},\quad \sigma_3 = -100\\ \text{MPa}.

Passo 4

Breve explicação do círculo de Mohr em 3D: para um estado tridimensional com três tensões principais \sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3 existem três círculos de Mohr correspondentes aos pares (\sigma_1,\sigma_2), (\sigma_2,\sigma_3) e (\sigma_3,\sigma_1). Cada círculo tem centro em
\text{centro}=\frac{\sigma_a+\sigma_b}{2}
e raio
\text{raio}=\frac{|\sigma_a-\sigma_b|}{2},
onde \sigma_a e \sigma_b são as duas tensões do par. O máximo cisalhamento absoluto possível no estado tridimensional é o maior desses raios, que ocorre sempre no círculo formado por \sigma_1 e \sigma_3, e pode ser escrito de forma simples como
\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}.
Expliquei isso porque é a propriedade do círculo de Mohr: o maior deslocamento vertical (na coordenada da tensão de cisalhamento) ocorre entre os extremos do maior círculo, que corresponde à maior diferença entre tensões principais.

Passo 5

Calculemos os centros e raios dos três círculos (mostro porque, para que você veja de onde vem o maior valor):
  • Para o par (\sigma_1,\sigma_2)=(600,\,200):
\text{centro}_{12}=\frac{600+200}{2}=400\\ \text{MPa},\qquad \text{raio}_{12}=\frac{600-200}{2}=200\\ \text{MPa}.
  • Para o par (\sigma_2,\sigma_3)=(200,\,-100):
\text{centro}_{23}=\frac{200+(-100)}{2}=50\\ \text{MPa},\qquad \text{raio}_{23}=\frac{200-(-100)}{2}=\frac{300}{2}=150\\ \text{MPa}.
  • Para o par (\sigma_3,\sigma_1)=(-100,\,600):
\text{centro}_{31}=\frac{-100+600}{2}=250\\ \text{MPa},\qquad \text{raio}_{31}=\frac{600-(-100)}{2}=\frac{700}{2}=350\\ \text{MPa}.
Observe que o maior raio é 350\\ \text{MPa}, correspondente ao círculo entre \sigma_1 e \sigma_3.

Passo 6

Interpretação final: o maior valor de tensão de cisalhamento possível no ponto (isto é, a máxima tensão cisalhante que aparece em alguma orientação de plano no volume) é justamente o maior raio calculado, que também pode ser obtido diretamente pela fórmula mais curta
\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}=\frac{600-(-100)}{2}=\frac{700}{2}=350\\ \text{MPa}.
Portanto, ao construir o círculo de Mohr com os três círculos explicados acima, o círculo que liga \sigma_1 a \sigma_3 tem raio 350\\ \text{MPa} e esse é o valor buscado. Vai dar certo na prova: identifique as três tensões principais, ordene-as, e use \tau_{\max}=(\sigma_{\max}-\sigma_{\min})/2.

Resposta

350\\ \text{MPa}

Exercícios relacionados