4.54 A superficie interna de um cilindro oco pressurizado intemamente a 100 MPa está sujeita às tensốes tangencial e axial de 600 e 200 MPa , respectivamente. Construa um círculo de Mohr representando as tensöes atuantes na superficie interna. Qual é o valor da tenslo cisalhante máxima atuante na superficie interna?
[Resp:- 350 MPa ]
[Resp:- 350 MPa ]
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) construir (ou descrever) o círculo de Mohr representando as tensões atuantes na superfície interna do cilindro; (2) determinar o valor da tensão cisalhante máxima que atua nessa superfície interna.
As informações dadas pelo enunciado são: a pressão interna é , a tensão tangencial (circunferencial, “hoop”) na superfície interna é
e a tensão axial é
. Estas são todas as informações numéricas fornecidas.
As informações dadas pelo enunciado são: a pressão interna é
Passo 2
Entendendo as tensões e o sinal: vamos adotar a convenção usual em problemas de resistência dos materiais — tensões trativas (de tração) são positivas e tensões compressivas são negativas. A pressão interna aplicada sobre a superfície interna gera uma tensão radial no ponto da superfície igual, em valor, à pressão mas compressiva. Logo a tensão radial na superfície interna é
Expliquei isso porque a pressão interna empurra para dentro (compressão) na direção radial; por isso o sinal negativo.
Passo 3
Identificação das tensões normais principais no ponto da superfície interna: as direções naturais do cilindro (circunferencial, axial e radial) são eixos principais — ou seja, não há cisalhamento entre essas direções no estado de tensões dado. Portanto as três tensões principais são:
Ordenando por valor (do maior ao menor) obtemos
Passo 4
Breve explicação do círculo de Mohr em 3D: para um estado tridimensional com três tensões principais
existem três círculos de Mohr correspondentes aos pares
,
e
. Cada círculo tem centro em
e raio
onde
e
são as duas tensões do par. O máximo cisalhamento absoluto possível no estado tridimensional é o maior desses raios, que ocorre sempre no círculo formado por
e
, e pode ser escrito de forma simples como
Expliquei isso porque é a propriedade do círculo de Mohr: o maior deslocamento vertical (na coordenada da tensão de cisalhamento) ocorre entre os extremos do maior círculo, que corresponde à maior diferença entre tensões principais.
Passo 5
Calculemos os centros e raios dos três círculos (mostro porque, para que você veja de onde vem o maior valor):
- Para o par
:
- Para o par
:
- Para o par
:
Observe que o maior raio é
, correspondente ao círculo entre
e
.
Passo 6
Interpretação final: o maior valor de tensão de cisalhamento possível no ponto (isto é, a máxima tensão cisalhante que aparece em alguma orientação de plano no volume) é justamente o maior raio calculado, que também pode ser obtido diretamente pela fórmula mais curta
Portanto, ao construir o círculo de Mohr com os três círculos explicados acima, o círculo que liga
a
tem raio
e esse é o valor buscado. Vai dar certo na prova: identifique as três tensões principais, ordene-as, e use
.