1.57 • BIO Estime o número de átomos existentes em seu corpo. (Dica: com base em seus conhecimentos de biologia e de química, quais os tipos mais comuns de átomos existentes em seu corpo? Qual é a massa de cada um desses átomos? O Apêndice D apresenta uma relação das massas atômicas dos diferentes elementos, expressas em unidades de massa atômica; você encontrará o valor de uma unidade de massa atômica, ou 1 u , no Apêndice E.)

Passo 1

O que o problema pede: estimar o número total de átomos existentes no corpo humano.
Informações e escolhas que vou usar (assumidas para poder estimar sem pedir nada a mais):
  • Vou considerar uma massa corporal típica de 70\\ \text{kg}. Essa é uma escolha padrão em problemas desse tipo; se a pessoa tiver massa diferente, basta fazer proporcionalmente.
  • Os átomos mais comuns no corpo são (por massa): oxigênio, carbono, hidrogênio, nitrogênio, cálcio e fósforo. Vou usar as frações de massa típicas aproximadas:
    • oxigênio: 65\% da massa corporal,
    • carbono: 18\%,
    • hidrogênio: 10\%,
    • nitrogênio: 3\%,
    • cálcio: 1{,}5\%,
    • fósforo: 1{,}0\%,
    • outros elementos traço: 1{,}5\%.
  • Valores atômicos aproximados (massa atômica, em \text{g/mol}): \mathrm{O}=16, \mathrm{C}=12, \mathrm{H}=1, \mathrm{N}=14, \mathrm{Ca}=40, \mathrm{P}=31.
  • Constante de Avogadro: N_A = 6{,}02\times10^{23}\\ \text{átomos/mol}.á

Passo 2

Método geral (a “receita” para aplicar a cada elemento):
  1. Converter a massa corporal M_{\text{corpo}} para gramas: M_{\text{corpo}}=70\\ \text{kg}=70000\\ \text{g}.
  2. Para cada elemento com fração de massa f, a massa do elemento é m = f\cdot M_{\text{corpo}}.
  3. O número de mols desse elemento é n=\frac{m}{M_{\text{atômico}}},ô onde M_{\text{atômico}}ô é a massa atômica em \text{g/mol}.
  4. O número de átomos é N = n\cdot N_A.
Explicação didática curta do porquê isso funciona: a massa atômica em \text{g/mol} nos diz quantos gramas correspondem a 1 mol (ou seja, a 6{,}02\times10^{23} átomos) daquele elemento. Dividindo a massa real do elemento pela massa por mol obtemos quantos mols temos; multiplicando pelos átomos por mol obtemos o número de átomos.

Passo 3

Calcular massas de cada elemento (em gramas), usando M_{\text{corpo}}=70000\\ \text{g}:
  • Oxigênio: m_{\mathrm{O}}=0{,}65\cdot70000=45500\\ \text{g}.
  • Carbono: m_{\mathrm{C}}=0{,}18\cdot70000=12600\\ \text{g}.
  • Hidrogênio: m_{\mathrm{H}}=0{,}10\cdot70000=7000\\ \text{g}.
  • Nitrogênio: m_{\mathrm{N}}=0{,}03\cdot70000=2100\\ \text{g}.
  • Cálcio: m_{\mathrm{Ca}}=0{,}015\cdot70000=1050\\ \text{g}.
  • Fósforo: m_{\mathrm{P}}=0{,}01\cdot70000=700\\ \text{g}.
  • Outros: m_{\text{outros}}=0{,}015\cdot70000=1050\\ \text{g}.

Passo 4

Calcular número de átomos de oxigênio (passo exemplo detalhado):
  • Massa atômica: M_{\mathrm{O}}=16\\ \text{g/mol}.
  • Mols de oxigênio: n_{\mathrm{O}}=\frac{m_{\mathrm{O}}}{M_{\mathrm{O}}}=\frac{45500}{16}=2843{,}75\\ \text{mol}.
  • Átomos de oxigênio: N_{\mathrm{O}}=n_{\mathrm{O}}N_A=2843{,}75\cdot6{,}02\times10^{23}=1{,}71\times10^{27}\\ \text{átomos}.á
(Arredondei o resultado para três algarismos significativos no final deste passo.)

Passo 5

Calcular número de átomos dos outros elementos, repetindo o mesmo procedimento:
  • Carbono: n_{\mathrm{C}}=\frac{12600}{12}=1050\\ \text{mol},
N_{\mathrm{C}}=1050\cdot6{,}02\times10^{23}=6{,}32\times10^{26}\\ \text{átomos}.á
  • Hidrogênio: n_{\mathrm{H}}=\frac{7000}{1}=7000\\ \text{mol},
N_{\mathrm{H}}=7000\cdot6{,}02\times10^{23}=4{,}21\times10^{27}\\ \text{átomos}.á
  • Nitrogênio: n_{\mathrm{N}}=\frac{2100}{14}=150\\ \text{mol},
N_{\mathrm{N}}=150\cdot6{,}02\times10^{23}=9{,}03\times10^{25}\\ \text{átomos}.á
  • Cálcio: n_{\mathrm{Ca}}=\frac{1050}{40}=26{,}25\\ \text{mol},
N_{\mathrm{Ca}}=26{,}25\cdot6{,}02\times10^{23}=1{,}58\times10^{25}\\ \text{átomos}.á
  • Fósforo: n_{\mathrm{P}}=\frac{700}{31}\approx22{,}58\\ \text{mol},
N_{\mathrm{P}}=22{,}58\cdot6{,}02\times10^{23}=1{,}36\times10^{25}\\ \text{átomos}.á
  • Outros (assumindo massa atômica média \approx30\\ \text{g/mol} para traços): n_{\text{outros}}=\frac{1050}{30}=35\\ \text{mol},
N_{\text{outros}}=35\cdot6{,}02\times10^{23}=2{,}11\times10^{25}\\ \text{átomos}.á

Passo 6

Somar todos os átomos para obter o total estimado:
\begin{aligned} N_{\text{total}} &= N_{\mathrm{O}} + N_{\mathrm{H}} + N_{\mathrm{C}} + N_{\mathrm{N}} + N_{\mathrm{Ca}} + N_{\mathrm{P}} + N_{\text{outros}} \\\ &\approx 1{,}71\times10^{27} + 4{,}21\times10^{27} + 6{,}32\times10^{26} + 9{,}03\times10^{25} \\\ &\quad + 1{,}58\times10^{25} + 1{,}36\times10^{25} + 2{,}11\times10^{25} \\\ &\approx 6{,}70\times10^{27}\\ \text{átomos}. \end{aligned}á
Interpretação: a grande maioria dos átomos vem de hidrogênio e oxigênio (porque a água é a maior parte do corpo), por isso o total fica da ordem de 10^{27} átomos.

Passo 7

Comentário final e sensibilidade da estimativa (como ajustar na prova):
  • A resposta depende da massa corporal assumida; para outra massa corporal M' basta multiplicar o resultado por M'/70.
  • As frações de massa e as massas atômicas usadas são aproximações; mesmo mudando alguns percentuais típicos, o resultado ainda fica na mesma ordem de grandeza 10^{27}.
  • Em uma prova, explique as hipóteses (massa adotada e composição) e mostre um cálculo como o feito aqui; isso é suficiente para receber crédito em questões de ordem de grandeza.

Resposta

6,7\times10^{27}\\ \text{átomos (aprox., para uma pessoa de }70\\ \text{kg)}á

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