57 Um ciclo de três etapas é executado reversivelmente por 4,00 \mathrm{~mol} de um gás ideal: (1) uma expansão adiabática que dá ao gás 2,00 vezes o volume inicial, (2) um processo a volume constante, (3) uma compressão isotérmica de volta ao estado inicial
do gás. Não sabemos se o gás é monoatômico ou diatômico; se for diatômico, não sabemos se as moléculas estão girando ou oscilando. Quais são as variações de entropia (a) para o ciclo, (b) para o processo 1, (c) para o processo 3 \mathrm{e}(\mathrm{d}) para o processo 2?

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo reversível de três etapas com n=4{,}00,mol de gás ideal:
( 1) expansão adiabática até V_1=2V_0,
( 2) aquecimento a volume constante de T_1 até T_2,
( 3) compressão isotérmica de V_1=2V_0 de volta a V_0 à temperatura T_2.
Queremos as variações de entropia \Delta S para o ciclo inteiro e para cada etapa.

Passo 2

Para um ciclo termodinâmico reversível fechado, a variação total de entropia é zero, pois entropia é função de estado e retornamos ao ponto inicial.
\Delta S_{\text{ciclo}} \;=\; 0

Passo 3

No processo 1 temos expansão adiabática reversível. Por definição, dQ_{\rm rev}=0 numa adiabática reversível, logo
\Delta S_1 \;=\;\int \frac{dQ_{\rm rev}}{T} = 0.

Passo 4

No processo 3 temos compressão isotérmica reversível à temperatura constante T_2. A variação de entropia é
\Delta S_3 \;=\;\frac{Q_{\rm rev}}{T_2} \quad\text{com}\quad Q_{\rm rev}=nRT_2\ln\frac{V_f}{V_i}
Aqui V_i=2V_0 e V_f=V_0, então
\Delta S_3 \;=\;nR\ln\frac{V_0}{2V_0} \;=\;-\,nR\ln 2 \;=\;-\,4\,(8{,}314)\,\ln2\;\mathrm{J/K} \approx -23{,}0\;\mathrm{J/K}.

Passo 5

No processo 2 temos aquecimento a volume constante de T_1 até T_2. Como dQ_{\rm rev}=nC_V\,dT,
\Delta S_2 \;=\;\int_{T_1}^{T_2}\frac{nC_V\,dT}{T} \;=\;nC_V\ln\frac{T_2}{T_1}.
Mas da adiabática reversível segue T_1=T_0(1/2)^{(\gamma-1)} e ao final T_2=T_0. Usando \gamma-1=R/C_V achamos
\Delta S_2 =nC_V\ln\Bigl[(1/2)^{-(\gamma-1)}\Bigr] =nC_V\frac{R}{C_V}\ln2 =nR\ln2 \;=\;4\,(8{,}314)\,\ln2\;\mathrm{J/K} \approx +23{,}0\;\mathrm{J/K}.

Resposta

(a) \Delta S_{\text{ciclo}}=0
(b) \Delta S_1=0
(c) \Delta S_3=-\,nR\ln2\approx -23{,}0\;\mathrm{J/K}
(d) \Delta S_2=+\,nR\ln2\approx +23{,}0\;\mathrm{J/K}

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