71 Suponha que 260 J sejam conduzidos de uma fonte à temperatura constante de 400 K para uma fonte (a) a 100 K , (b) a 200 K , (c) a 300 K e (d) a 360 K . Qual é a variação líquida da entropia das fontes, \Delta \mathrm{S}_{\text {liq }}, em cada caso? (e) Quando a diferença entre as temperaturas das fontes diminui, \Delta S_{\text {liq }} aumenta, diminui ou permanece a mesma?

Passo 1

O enunciado diz que uma quantidade de calor Q=260 J é transferida de uma fonte quente mantida a T_{H}=400 K para uma fonte fria a uma temperatura T_{C} que varia em cada caso. Queremos calcular a variação líquida de entropia das duas fontes, \Delta S_{\text{liq}}. Aplicamos o conceito de entropia para reservatórios de temperatura constante.

Passo 2

Pelo conceito de entropia de um reservatório isotérmico, a variação de entropia é \Delta S = Q_{\text{trocado}}/T. Assim, para a fonte quente que perde calor e para a fria que ganha calor,
\Delta S_{\text{liq}} =\Delta S_{\text{fria}}+\Delta S_{\text{quente}} =\frac{Q}{T_{C}} -\frac{Q}{T_{H}} =Q\Bigl(\frac{1}{T_{C}}-\frac{1}{T_{H}}\Bigr).

Passo 3

Caso (a): T_{C}=100 K.
\Delta S_{\text{liq}} =260\Bigl(\frac{1}{100}-\frac{1}{400}\Bigr) =260\,(0,01-0,0025) =260\cdot0,0075 =1,95\\ \mathrm{J/K}.

Passo 4

Caso (b): T_{C}=200 K.
\Delta S_{\text{liq}} =260\Bigl(\frac{1}{200}-\frac{1}{400}\Bigr) =260\,(0,005-0,0025) =260\cdot0,0025 =0,65\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Caso (c): T_{C}=300 K.
\Delta S_{\text{liq}} =260\Bigl(\frac{1}{300}-\frac{1}{400}\Bigr) =260\,(0,003333\ldots-0,0025) \approx260\cdot0,0008333 \approx0,217\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Caso (d): T_{C}=360 K.
\Delta S_{\text{liq}} =260\Bigl(\frac{1}{360}-\frac{1}{400}\Bigr) =260\,(0,0027778\ldots-0,0025) \approx260\cdot0,0002778 \approx0,0722\\ \mathrm{J/K}.

Passo 7

Como \Delta S_{\text{liq}}=Q\bigl(\tfrac{1}{T_{C}}-\tfrac{1}{T_{H}}\bigr), à medida que T_{C} se aproxima de T_{H} a diferença \tfrac{1}{T_{C}}-\tfrac{1}{T_{H}} diminui. Logo, \Delta S_{\text{liq}} diminui quando as temperaturas das fontes ficam mais próximas.

Resposta

(a) 1,95\\ \mathrm{J/K}
(b) 0,65\\ \mathrm{J/K}
(c) 0,217\\ \mathrm{J/K}
(d) 0,0722\\ \mathrm{J/K}
(e) \Delta S_{\text{liq}} diminui quando a diferença de temperatura entre as fontes diminui.

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