7.58 Dois tubos capilares com raios internos de 0,600 e 0,400 \mathrm{~mm} são inseridos em um líquido com massa específica de 0,901 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} em contato com ar de massa específica de 0,001 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. A diferença entre as ascensões capilares nos tubos é 1,00 \mathrm{~cm}. Determine \gamma. Suponha um ângulo de contato zero.

Passo 1

O enunciado fornece:
r_1 = 0{,}600\\ \text{mm},\qquad r_2 = 0{,}400\\ \text{mm},
\rho_{\text{líquido}} = 0{,}901\\ \text{g/cm}^3,\qquad \rho_{\text{ar}} = 0{,}001\\ \text{g/cm}^3,í
\Delta h = 1{,}00\\ \text{cm},
ângulo de contato zero (portanto \cos\theta=1).
O que o problema pede: determinar a tensão superficial \gamma.

Passo 2

Conceito e fórmula a usar (explicação didática):
Quando um tubo capilar de raio r é mergulhado num líquido, a força de tensão superficial que age ao longo da circunferência do tubo puxa o líquido para cima (para ângulo de contato menor que 90^\circ). Em equilíbrio, a componente vertical da força de tensão superficial é balanceada pelo peso do líquido elevado no tubo. Fazendo o balanço de forças:
  • Força vertical de tensão superficial: F_{\gamma}=2\pi r\,\gamma\cos\theta.
    Explicação: a tensão \gamma atua ao longo da circunferência 2\pi r; apenas a componente vertical \cos\theta contribui para elevar o líquido.
  • Peso da coluna de líquido (considerando que o ar também tem densidade): P = \text{(massa)}\cdot g = (\pi r^2 h)\,(\rho_{\text{líquido}}-\rho_{\text{ar}})\,gí.
    Explicação: a massa da coluna de altura h é volume \pi r^2 h vezes densidade efetiva \Delta\rho=\rho_{\text{líquido}}-\rho_{\text{ar}}í; multiplicamos por g para obter o peso.
Igualando força de subida e peso:
2\pi r\,\gamma\cos\theta=\pi r^2 h\,\Delta\rho\,g.
Cancelando \pi r obtemos a fórmula clássica do sobe-capilar:
h=\frac{2\gamma\cos\theta}{\Delta\rho\,g\,r},
onde \Delta\rho=\rho_{\text{líquido}}-\rho_{\text{ar}}í.
Observação: como \theta=0, temos \cos\theta=1.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dois tubos:
h_1=\frac{2\gamma}{\Delta\rho\,g\,r_1},\qquad h_2=\frac{2\gamma}{\Delta\rho\,g\,r_2}.
A diferença entre as ascensões (valor positivo) é
\Delta h = h_2-h_1 = \frac{2\gamma}{\Delta\rho\,g}\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right).
Isolando \gamma:
\gamma=\frac{\Delta h\,\Delta\rho\,g}{2\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right)}.
Comentário sobre escolha: usei h_2-h_1 porque o tubo de menor raio tem maior subida; a fórmula com a diferença absoluta é equivalente se \Delta h for dado positivo.

Passo 4

Conversões para unidades SI (mostrar passo a passo):
\rho_{\text{líquido}}=0{,}901\\ \text{g/cm}^3 = 0{,}901\times 1000\\ \text{kg/m}^3 = 901\\ \text{kg/m}^3,í
\rho_{\text{ar}}=0{,}001\\ \text{g/cm}^3 = 0{,}001\times 1000\\ \text{kg/m}^3 = 1\\ \text{kg/m}^3,
\Delta\rho = 901-1 = 900\\ \text{kg/m}^3.
Raios em metros:
r_1 = 0{,}600\\ \text{mm} = 0{,}600\times 10^{-3}\\ \text{m} = 6{,}00\times10^{-4}\\ \text{m},
r_2 = 0{,}400\\ \text{mm} = 4{,}00\times10^{-4}\\ \text{m}.
Altura:
\Delta h = 1{,}00\\ \text{cm} = 0{,}01\\ \text{m}.
Aceleração da gravidade: g=9{,}80\\ \text{m/s}^2 (valor usual).

Passo 5

Cálculos numéricos (mostrando contas para você reproduzir sem calculadora pesada):
Calcule primeiro \dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}:
\frac{1}{r_2}=\frac{1}{4{,}00\times10^{-4}}=2500\\ \text{m}^{-1},
\frac{1}{r_1}=\frac{1}{6{,}00\times10^{-4}}=1666{,}666\ldots\\ \text{m}^{-1},
\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}=2500-1666{,}666\ldots=833{,}333\ldots\\ \text{m}^{-1}.
Agora o numerador \Delta h\,\Delta\rho\,g:
\Delta h\,\Delta\rho\,g = 0{,}01\times 900 \times 9{,}80 = 88{,}2\\ \text{(SI)}.
Denominador 2\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right):
2\times 833{,}333\ldots = 1666{,}666\ldots
Finalmente,
\gamma = \frac{88{,}2}{1666{,}666\ldots} \approx 0{,}05292\\ \text{N/m}.
Em unidades mais usuais:
\gamma \approx 5{,}29\times 10^{-2}\\ \text{N/m} = 52{,}9\\ \text{mN/m}.

Passo 6

Cheque rápido de ordem de grandeza: valores típicos de tensão superficial de líquidos orgânicos podem estar entre 20 e 60\\ \text{mN/m}; água pura é \sim72\\ \text{mN/m}. Nosso resultado 52{,}9\\ \text{mN/m} é razoável para um líquido cuja densidade é menor que a da água. Força de contato zero foi usada, então \cos\theta=1, como pedido.

Resposta

\gamma = 5{,}29\times 10^{-2}\\ \mathrm{N/m}

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