7.48 Calcule o trabalho mínimo necessário para aumentar a área da superfície da água de 2,0 \mathrm{~cm}^{2} para 5,0 \mathrm{~cm}^{2} a 20^{\circ} \mathrm{C}. A tensão superficial da água é 73 \mathrm{mN} / \mathrm{m} a 20^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho mínimo necessário para aumentar a área da superfície da água de \,2,0\\ \mathrm{cm}^2 para \,5,0\\ \mathrm{cm}^2 a 20^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos:
\;A_i = 2,0\\ \mathrm{cm}^2 (área inicial)
\;A_f = 5,0\\ \mathrm{cm}^2 (área final)
\;\gamma = 73\\ \mathrm{mN/m} (tensão superficial da água a 20^\circ\mathrm{C})
Pergunta: calcular o trabalho mínimo W_{\min} necessário para esse aumento de área.

Passo 2

O que é tensão superficial e por que ela dá trabalho? Vou explicar devagar: a tensão superficial \gamma é a energia (livre) necessária para criar uma nova área de superfície da substância por unidade de área. Em termos práticos, quando você aumenta a área da superfície líquida, precisa “gastar” energia para romper/alongar as interações moleculares na superfície. Matematicamente, para um processo reversível (mínimo trabalho) temos a relação diferencial
\gamma = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}A},
onde \mathrm{d}W é o trabalho reversível necessário para criar a pequena área \mathrm{d}A. Integrando para uma variação finita de área, obtemos a fórmula simples usada em provas:
W_{\min} = \gamma\,\Delta A.
Observação importante (pra prova): se você estivesse esticando uma película fina com duas superfícies (como uma película de sabão) teria que criar duas faces novas, e então usaria W_{\min}=2\gamma\,\Delta A. No nosso problema a superfície é a da água para o ar (uma só), então usamos W_{\min}=\gamma\,\Delta A.

Passo 3

Converter as áreas dadas para o SI (metros quadrados). Lembrete: 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2. Então:
A_i = 2,0\\ \mathrm{cm}^2 = 2,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2,
A_f = 5,0\\ \mathrm{cm}^2 = 5,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular a variação de área \Delta A:
\Delta A = A_f - A_i = 5,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 - 2,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 3,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Converter a tensão superficial para unidades SI: \;1\\ \mathrm{mN/m}=10^{-3}\\ \mathrm{N/m}. Logo
\gamma = 73\\ \mathrm{mN/m} = 73\times10^{-3}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 6

Aplicar a fórmula W_{\min}=\gamma\,\Delta A. Substituindo os valores (mantendo a simplificação algébrica):
W_{\min} = (73\times10^{-3}\\ \mathrm{N/m})\times(3,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2)
W_{\min} = (73\times3,0)\times10^{-7}\\ \mathrm{J} = 219\times10^{-7}\\ \mathrm{J}.
Verificação de unidades: \mathrm{N/m}\times\mathrm{m}^2 = \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} = \mathrm{J}, então o resultado está em joules.

Passo 7

Comentário final para a prova (ânimo!): simplifique a notação científica para apresentar a resposta com um número conveniente e use vírgula decimal conforme o enunciado em português. Lembre-se também do caso da película com duas faces; se o enunciado mencionar explicitamente “filme” ou “película” você precisa multiplicar por 2.

Resposta

2,19\times10^{-5}\\ \mathrm{J}

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