58) Exercício 8.4- Livro Ciência e Engenharia de Materiais Uma Introdução - 9{ }^{\mathrm{a}} Ed

Um componente em MgO não deve falhar quando for aplicada uma tensão de tração de 13,5 \mathrm{MPa}. Determine o comprimento máximo admissível para uma trinca superficial se a energia de superfície do MgO é de 1,0 \mathrm{~J} / \mathrm{m}^{2}. Considere o módulo de elasticidade igual a 225 GPa .

Passo 1

O enunciado pede o comprimento máximo de uma trinca superficial em MgO para que ela não falhe sob tensão de tração de 13{,}5,MPa. O conteúdo é a teoria de Griffith para fratura frágil, que relaciona a tensão crítica \sigma_c, o módulo de elasticidade E, a energia de superfície \gamma_s e o tamanho da trinca a.

Passo 2

Pela teoria de Griffith para trinca superficial (apenas uma nova superfície se forma), a condição de fratura é
\sigma_c = \sqrt{\frac{E\,\gamma_s}{\pi\,a}}.
Aqui \sigma_c é a tensão crítica (que não deve ser excedida), E é o módulo de elasticidade, \gamma_s é a energia de superfície e a é a profundidade (comprimento) da trinca.

Passo 3

Queremos que \sigma_c\ge 13{,}5,MPa, então o maior a admissível vem de igualar
13{,}5\times10^6 = \sqrt{\frac{225\times10^9 \times 1{,}0}{\pi\,a}}.
Isolando a, temos
a = \frac{E\,\gamma_s}{\pi\,\sigma_c^2}.

Passo 4

Substituindo os valores (tudo em unidades SI): E = 225\times10^9,Pa, \gamma_s = 1{,}0,J/m ^2, \sigma_c =13{,}5\times10^6,Pa, temos
a = \frac{225\times10^9 \times 1{,}0}{\pi \,(13{,}5\times10^6)^2}.

Passo 5

Calculando numericamente:
(13{,}5\times10^6)^2 = 182{,}25\times10^{12},\quad \pi\,(13{,}5\times10^6)^2 \approx 5{,}724\times10^{14},
a \approx \frac{225\times10^9}{5{,}724\times10^{14}} =3{,}93\times10^{-4}\text{ m} =0{,}393\text{ mm}.

Resposta

O comprimento máximo admissível para a trinca superficial é aproximadamente 0{,}39 mm.

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