7.25 O limite de escoamento inferior para uma amostra de ferro com diâmetro médio de grão de 1 \times 10^{-2} \mathrm{~mm} é de 230 MPa ( 33.000 psi ). Em um diâmetro de grão de 6 \times 10^{-3} \mathrm{~mm}, o limite de escoamento aumenta para 275 MPa ( 40.000 psi ). Em qual diâmetro de grão o limite de escoamento inferior será de 310 MPa ( 45.000 psi )?

Passo 1

Resumindo o enunciado, estamos diante da relação de Hall–Petch para o limite de escoamento
\sigma_y = \sigma_0 + k\,d^{-1/2}
Dados: \sigma_1 = 230 MPa em d_1 = 1\times10^{-2} mm \sigma_2 = 275 MPa em d_2 = 6\times10^{-3} mm
Queremos d_3 tal que \sigma_3 = 310 MPa.

Passo 2

Definimos a variável auxiliar
x = d^{-1/2}
de modo que a lei fique linear em x:
\sigma = \sigma_0 + k\,x.
Calculamos
x_1 = d_1^{-1/2} = (1\times10^{-2})^{-1/2} = 10,
x_2 = d_2^{-1/2} = (6\times10^{-3})^{-1/2} \approx 12,9099.

Passo 3

A partir dos pontos (x_1,\sigma_1) e (x_2,\sigma_2) obtemos k e \sigma_0:
k = \frac{\sigma_2 - \sigma_1}{x_2 - x_1} = \frac{275 - 230}{12,9099 - 10} \approx 15,458\;\text{MPa}\cdot\text{mm}^{1/2},
\sigma_0 = \sigma_1 - k\,x_1 = 230 - 15,458 \times 10 \approx 75,42\;\text{MPa}.

Passo 4

Para \sigma_3 = 310 MPa, calculamos
x_3 = \frac{\sigma_3 - \sigma_0}{k} = \frac{310 - 75,42}{15,458} \approx 15,18.
E então
d_3 = x_3^{-2} = (15,18)^{-2} \approx 0,00434\;\text{mm}.

Resposta

d \approx 4,34\times10^{-3}\;\text{mm}.

Exercícios relacionados