[59] Utilizando exemplos determine o comportamento do gráfico da função logística se variamos A, B e C.

Passo 1

O enunciado pede: “Utilizando exemplos determine o comportamento do gráfico da função logística se variamos A, B e C.”
Informações que vamos usar (escolhi a forma padrão mais comum da logística):
f(x)=\frac{A}{1+Be^{-Cx}}.
O que é pedido: para cada parâmetro A, B e C — explicar e exemplificar como a variação desse parâmetro muda o gráfico da função logística (assíntotas, posição horizontal, inclinação, monotonicidade, etc.). Vou assumir valores típicos de B>0 para os exemplos principais, e ainda comentar o caso B\le 0 e o sinal de C.

Passo 2

Primeira aula rápida sobre o comportamento limite (assíntotas) — isso é importante para entender o “nível” em que o gráfico vive. Considere B>0.
Calculemos os limites:
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{A}{1+Be^{-Cx}}.
Se C>0 então e^{-Cx}\to 0 quando x\to+\infty, logo
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\frac{A}{1+0}=A.
Quando x\to-\infty, ainda com C>0, temos e^{-Cx}\to+\infty, então
\lim_{x\to-\infty} f(x)=\frac{A}{1+\infty}=0.
Portanto, para B>0 e C>0 a função tem assíntotas horizontais inferior em 0 e superior em A. Se C<0 os papéis de +\infty e -\infty trocam e a função vai de A (quando x\to-\infty) para 0 (quando x\to+\infty), ou seja o gráfico fica invertido (decrescente em vez de crescente).
Observação: esses limites foram obtidos usando o comportamento de e^{-Cx} quando x\to\pm\infty. Sempre que você vê e^{-\text{const}\cdot x} pense: se a constante for positiva, para x\to+\infty 0; se negativa, dá \infty, e vice-versa para x\to-\infty.

Passo 3

Agora vamos ver como B desloca horizontalmente a curva — encontramos o ponto médio (inflection / simetria) do S logístico.
Procure o x onde f(x)=\dfrac{A}{2} (meio do intervalo entre assíntotas). Resolva:
\frac{A}{1+Be^{-Cx}}=\frac{A}{2}\quad\Rightarrow\quad 1+Be^{-Cx}=2\quad\Rightarrow\quad Be^{-Cx}=1.
Daí
e^{-Cx}=\frac{1}{B}\quad\Rightarrow\quad -Cx=\ln\!\left(\frac{1}{B}\right)=-\ln B
e finalmente
x_{\text{meio}}=\frac{1}{C}\ln B.
Interpretação: o parâmetro B controla a posição horizontal do “meio” da curva. Exemplos rápidos:
  • Se B=1 então x_{\text{meio}}=0: a transição está centrada em x=0.
  • Se B>1 então \ln B>0 e x_{\text{meio}}>0: a curva desloca para a direita.
  • Se 0<B<1 então \ln B<0 e x_{\text{meio}}<0: desloca para a esquerda.
    Se B\le 0 a equação Be^{-Cx}=1 não tem sentido positivo para e^{-Cx} (ou pode causar denominador zero quando 1+Be^{-Cx}=0); portanto, em geral na definição logística padrão adotamos B>0. Se B<0 a função pode ter um ponto onde o denominador anula (assimptota vertical), o que muda muito o comportamento — na prova cite que normalmente B>0.

Passo 4

Agora vamos analisar C: inclinação, rapidez da transição e monotonicidade.
Calcule a derivada para ver a inclinação instantânea:
f(x)=A(1+Be^{-Cx})^{-1}.
Derivando (use regra da cadeia): primeiro escreva a derivada da forma (1+Be^{-Cx})^{-1}. A derivada é
f'(x)=A\cdot\frac{B C e^{-Cx}}{(1+Be^{-Cx})^{2}}.
Explicando a derivada passo a passo: derivada de (\cdot)^{-1} é -(\cdot)^{-2} vezes derivada interna; derivada de Be^{-Cx} é B\cdot(-C)e^{-Cx}; os sinais se cancelam e sobra o produto acima.
Avalie a derivada no ponto médio x_{\text{meio}}=\dfrac{1}{C}\ln B, onde e^{-Cx}=1/B. Substituindo:
f'(x_{\text{meio}})=A\cdot\frac{B C \cdot\frac{1}{B}}{(1+1)^{2}}=\frac{A C}{4}.
Conclusões desta fórmula:
  • A inclinação máxima (no ponto de inflexão) é \dfrac{A C}{4}. Isso mostra que quanto maior |C| maior a inclinação (transição mais “íngreme”), e quanto maior A também maior a inclinação absoluta naquele ponto (pois A escala verticalmente).
  • O sinal de C determina se a função é crescente ou decrescente: para C>0 temos f'(x)>0 (cresce de 0 a A), para C<0 temos f'(x)<0 (decresce de A a 0).
  • O valor absoluto |C| controla “rapidez” da mudança: C grande em módulo → transição brusca (parecido com aproximar-se de um degrau); C pequeno → transição suave e larga.

Passo 5

Exemplos numéricos rápidos (para sentir na pele):
  • Exemplo base: A=1,\;B=1,\;C=1.
    • Assíntotas: 0 e 1.
    • Meio em x_{\text{meio}}=\dfrac{1}{1}\ln 1=0.
    • Inclinação máxima f'(0)=\dfrac{1\cdot1}{4}=\dfrac{1}{4}.
      Gráfico: S padrão centrado em 0 subindo de 0 a 1.
  • Aumentar A: A=2,\;B=1,\;C=1.
    • Assíntotas: 0 e 2.
    • Meio em 0 (pois B=1).
    • Inclinação máxima f'(0)=\dfrac{2\cdot1}{4}=\dfrac{1}{2} — a curva fica mais alta e a transição mais inclinada.
      Interpretação: A “puxa” o teto para cima (escala vertical) e aumenta a inclinação absoluta no meio.
  • Mudar B: A=1,\;B=4,\;C=1.
    • Meio em x_{\text{meio}}=\ln 4\approx 1,386 (desloca para a direita).
      Gráfico: mesma forma, só que a transição ocorre mais à direita.
  • Mudar C: A=1,\;B=1,\;C=2.
    • Meio em 0.
    • Inclinação máxima f'(0)=\dfrac{1\cdot2}{4}=\dfrac{1}{2} — mais íngreme que para C=1.
    • Se C=-1 a curva fica decrescente, indo de A para 0 e com inclinação máxima negativa -\tfrac{A}{4}.

Passo 6

Resumo intuitivo (como lembrar na prova — dica de amigo): pense em A como o “teto” (altura máxima) que também aumenta a inclinação absoluta; pense em B como o "controle de onde o S está no eixo x" (move para esquerda/direita); pense em C como o “controle da rapidez e direção” (quanto maior |C|, mais rápido fica; sinal de C determina subir ou descer).

Resposta

Variação de A: altera a assíntota superior (teto) de 0 A (para B>0,C>0), escala vertical do gráfico e aumenta a inclinação máxima ( f'(x_{\text{meio}})=\tfrac{A C}{4}).\nVariação de B: desloca horizontalmente o ponto médio \displaystyle x_{\text{meio}}=\frac{1}{C}\ln B; B>1 desloca para a direita, 0<B<1 desloca para a esquerda (evite B\le 0 na forma padrão). \nVariação de C: controla rapidez da transição e monotonicidade; |C| maior → curva mais íngreme; sinal de C determina se a curva é crescente ( C>0) ou decrescente ( C<0).

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