[59] Utilizando exemplos determine o comportamento do gráfico da função logística se variamos
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede: “Utilizando exemplos determine o comportamento do gráfico da função logística se variamos
,
e
.”
Informações que vamos usar (escolhi a forma padrão mais comum da logística):
Informações que vamos usar (escolhi a forma padrão mais comum da logística):
O que é pedido: para cada parâmetro
,
e
— explicar e exemplificar como a variação desse parâmetro muda o gráfico da função logística (assíntotas, posição horizontal, inclinação, monotonicidade, etc.). Vou assumir valores típicos de
para os exemplos principais, e ainda comentar o caso
e o sinal de
.
Passo 2
Primeira aula rápida sobre o comportamento limite (assíntotas) — isso é importante para entender o “nível” em que o gráfico vive. Considere
.
Calculemos os limites:
Se
então
quando
, logo
Quando
, ainda com
, temos
, então
Portanto, para
e
a função tem assíntotas horizontais inferior em
e superior em
. Se
os papéis de
e
trocam e a função vai de
(quando
) para
(quando
), ou seja o gráfico fica invertido (decrescente em vez de crescente).
Observação: esses limites foram obtidos usando o comportamento de
quando
. Sempre que você vê
pense: se a constante for positiva, para
dá
; se negativa, dá
, e vice-versa para
.
Passo 3
Agora vamos ver como
desloca horizontalmente a curva — encontramos o ponto médio (inflection / simetria) do S logístico.
Procure o
onde
(meio do intervalo entre assíntotas). Resolva:
Daí
e finalmente
Interpretação: o parâmetro
controla a posição horizontal do “meio” da curva. Exemplos rápidos:
- Se
então : a transição está centrada em . - Se
então e : a curva desloca para a direita. - Se
então e : desloca para a esquerda.
Sea equação não tem sentido positivo para (ou pode causar denominador zero quando ); portanto, em geral na definição logística padrão adotamos . Se a função pode ter um ponto onde o denominador anula (assimptota vertical), o que muda muito o comportamento — na prova cite que normalmente .
Passo 4
Agora vamos analisar
: inclinação, rapidez da transição e monotonicidade.
Calcule a derivada para ver a inclinação instantânea:
Derivando (use regra da cadeia): primeiro escreva a derivada da forma
. A derivada é
Explicando a derivada passo a passo: derivada de
é
vezes derivada interna; derivada de
é
; os sinais se cancelam e sobra o produto acima.
Avalie a derivada no ponto médio
, onde
. Substituindo:
Conclusões desta fórmula:
- A inclinação máxima (no ponto de inflexão) é
. Isso mostra que quanto maior maior a inclinação (transição mais “íngreme”), e quanto maior também maior a inclinação absoluta naquele ponto (pois escala verticalmente). - O sinal de
determina se a função é crescente ou decrescente: para temos (cresce de a ), para temos (decresce de a ). - O valor absoluto
controla “rapidez” da mudança: grande em módulo → transição brusca (parecido com aproximar-se de um degrau); pequeno → transição suave e larga.
Passo 5
Exemplos numéricos rápidos (para sentir na pele):
-
Exemplo base:
. - Assíntotas:
e . - Meio em
. - Inclinação máxima
.
Gráfico: S padrão centrado emsubindo de a .
- Assíntotas:
-
Aumentar
: . - Assíntotas:
e . - Meio em
(pois ). - Inclinação máxima
— a curva fica mais alta e a transição mais inclinada.
Interpretação:“puxa” o teto para cima (escala vertical) e aumenta a inclinação absoluta no meio.
- Assíntotas:
-
Mudar
: . - Meio em
(desloca para a direita).
Gráfico: mesma forma, só que a transição ocorre mais à direita.
- Meio em
-
Mudar
: . - Meio em
. - Inclinação máxima
— mais íngreme que para . - Se
a curva fica decrescente, indo de para e com inclinação máxima negativa .
- Meio em
Passo 6
Resumo intuitivo (como lembrar na prova — dica de amigo): pense em
como o “teto” (altura máxima) que também aumenta a inclinação absoluta; pense em
como o "controle de onde o S está no eixo
" (move para esquerda/direita); pense em
como o “controle da rapidez e direção” (quanto maior
, mais rápido fica; sinal de
determina subir ou descer).
Resposta
Variação de
: altera a assíntota superior (teto) de
–
(para
), escala vertical do gráfico e aumenta a inclinação máxima (
).\nVariação de
: desloca horizontalmente o ponto médio
;
desloca para a direita,
desloca para a esquerda (evite
na forma padrão). \nVariação de
: controla rapidez da transição e monotonicidade;
maior → curva mais íngreme; sinal de
determina se a curva é crescente (
) ou decrescente (
).