(5pts) Considere
definida por
e determine
a derivada segunda de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede a derivada segunda
. Informações relevantes: o integrando é
, o limite inferior é constante
e o limite superior é a função
. A tarefa é derivar duas vezes a função definida por essa integral.
Passo 2
Primeira ideia útil (teorema fundamental do cálculo + regra da cadeia): se temos uma função definida por uma integral com limite superior dependente de
, tipo
então a derivada
é dada por
Explicando devagar: o Teorema Fundamental do Cálculo diz que a derivada em relação a
de uma integral com limite variável recupera o valor do integrando no ponto do limite; e a regra da cadeia multiplica pelo dérivado do limite superior, porque estamos mudando a variável final. Aqui
e
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso
, obtemos a primeira derivada:
Agora simplifico as potências e a derivada de
:
e
. Logo
Passo 4
Para obter
precisamos derivar
. A expressão é um produto de duas funções de
:
e
. Usamos a regra do produto: se
, então
Também precisamos da derivada de
com
. Pela regra da cadeia,
Aqui tomaremos
, portanto
(pois
e multiplicando por
dá
).
Passo 5
Agora aplico a regra do produto a
:
primeiro termo: , então contribui
.
primeiro termo:
segundo termo:
multiplicado por
. Usando a regra da cadeia para
,
Multiplicando por
dá
.
Passo 6
Simplifico o segundo termo:
. Juntando os dois termos:
Opcionalmente posso fatorar
:
mas a forma expandida acima já é uma expressão clara e correta para
.