(5pts) Considere g definida por
g(x)=\int_{0}^{x^{2}} \operatorname{sen}\left(4 t^{2}\right) d t
e determine g^{\prime \prime} a derivada segunda de g.

Passo 1

O enunciado dá a função g definida por
g(x)=\int_{0}^{x^{2}} \operatorname{sen}\left(4 t^{2}\right)\,d t
e pede a derivada segunda g''(x). Informações relevantes: o integrando é \operatorname{sen}(4t^{2}), o limite inferior é constante 0 e o limite superior é a função x^{2}. A tarefa é derivar duas vezes a função definida por essa integral.

Passo 2

Primeira ideia útil (teorema fundamental do cálculo + regra da cadeia): se temos uma função definida por uma integral com limite superior dependente de x, tipo
G(x)=\int_{a}^{h(x)} f(t)\,dt,
então a derivada G'(x) é dada por
G'(x)=f(h(x))\cdot h'(x).
Explicando devagar: o Teorema Fundamental do Cálculo diz que a derivada em relação a x de uma integral com limite variável recupera o valor do integrando no ponto do limite; e a regra da cadeia multiplica pelo dérivado do limite superior, porque estamos mudando a variável final. Aqui f(t)=\operatorname{sen}(4t^{2}) e h(x)=x^{2}.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso g, obtemos a primeira derivada:
g'(x)=\operatorname{sen}\big(4(x^{2})^{2}\big)\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}).
Agora simplifico as potências e a derivada de x^{2}: (x^{2})^{2}=x^{4} e \frac{d}{dx}(x^{2})=2x. Logo
g'(x)=2x\,\operatorname{sen}\big(4x^{4}\big).

Passo 4

Para obter g''(x) precisamos derivar g'(x). A expressão é um produto de duas funções de x: 2x e \operatorname{sen}(4x^{4}). Usamos a regra do produto: se u(x)v(x), então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Também precisamos da derivada de \operatorname{sen}(u) com u=u(x). Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\big(u(x)\big)=\operatorname{cos}\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Aqui tomaremos u(x)=4x^{4}, portanto u'(x)=16x^{3} (pois \frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3} e multiplicando por 4 16x^{3}).

Passo 5

Agora aplico a regra do produto a g'(x)=2x\cdot \operatorname{sen}(4x^{4}):
primeiro termo: \frac{d}{dx}(2x)=2, então contribui 2\cdot \operatorname{sen}(4x^{4}).
segundo termo: 2x multiplicado por \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(4x^{4}). Usando a regra da cadeia para \operatorname{sen}(4x^{4}),
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(4x^{4})=\operatorname{cos}(4x^{4})\cdot 16x^{3}.
Multiplicando por 2x 2x\cdot 16x^{3}\cdot \operatorname{cos}(4x^{4}).

Passo 6

Simplifico o segundo termo: 2x\cdot 16x^{3}=32x^{4}. Juntando os dois termos:
g''(x)=2\,\operatorname{sen}(4x^{4})+32x^{4}\,\operatorname{cos}(4x^{4}).
Opcionalmente posso fatorar 2:
g''(x)=2\big(\operatorname{sen}(4x^{4})+16x^{4}\operatorname{cos}(4x^{4})\big),
mas a forma expandida acima já é uma expressão clara e correta para g''(x).

Resposta

g''(x)=2\,\operatorname{sen}(4x^{4})+32x^{4}\,\operatorname{cos}(4x^{4})

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