6°) Seja F: R^{2}-R^{2} deffinido por F(x, y)=(x, x+y).
a) Determine F^{2}
b) Determine \left(F^{2}\right)^{-1}, se existir.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear F\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 por
F(x,y) = (x,\;x+y).
O que se pede em (a) é a composição F^2 = F\circ F, e em (b) é encontrar a inversa de F^2, caso ela exista. Para isso vamos usar que compor transformações lineares equivale a multiplicar suas matrizes, e que uma transformação linear é inversível se sua matriz tiver determinante não nulo.
Passo 2
Vamos calcular a composição ponto a ponto. Dado (x,y), temos
F(x,y) = (u,v) \quad\text{com}\quad u = x,\; v = x+y.