6°) Seja F: R^{2}-R^{2} deffinido por F(x, y)=(x, x+y).
a) Determine F^{2}
b) Determine \left(F^{2}\right)^{-1}, se existir.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear F\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 por
F(x,y) = (x,\;x+y).
O que se pede em (a) é a composição F^2 = F\circ F, e em (b) é encontrar a inversa de F^2, caso ela exista. Para isso vamos usar que compor transformações lineares equivale a multiplicar suas matrizes, e que uma transformação linear é inversível se sua matriz tiver determinante não nulo.

Passo 2

Vamos calcular a composição ponto a ponto. Dado (x,y), temos
F(x,y) = (u,v) \quad\text{com}\quad u = x,\; v = x+y.
Agora aplicamos F novamente a (u,v):
F^2(x,y) = F(u,v) = \bigl(u,\;u+v\bigr) = \bigl(x,\;x + (x+y)\bigr) = \bigl(x,\;2x+y\bigr).

Passo 3

Podemos escrever F^2 como matriz em relação à base canônica:
A \;=\; \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix},
pois
F^2(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
O determinante de A é
\det(A) = 1\cdot1 - 0\cdot2 = 1 \neq 0,
logo A é invertível e F^2 tem inversa.

Passo 4

A inversa de A é
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ -2 & 1 \end{pmatrix},
ou, em forma de aplicação, se (u,v) = F^2(x,y) = (x,2x+y), então x = u e y = v - 2u. Portanto
\bigl(F^2\bigr)^{-1}(u,v) = \bigl(u,\;v - 2u\bigr).

Resposta

a) \displaystyle F^2(x,y) = \bigl(x,\;2x+y\bigr).
b) \displaystyle \bigl(F^2\bigr)^{-1}(u,v) = \bigl(u,\;v - 2u\bigr).

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