Verifique se os seguintes operadores lineares do
são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas propriedades.
4°) a)
b)
c)
4°) a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede para cada operador linear
verificar se
- é idempotente, ou seja, se
- é nilpotente, ou seja, se existe algum
tal que
ou nenhuma das duas propriedades. A estratégia é calcular
(e, se necessário, potências maiores) e comparar com
e com o operador zero.
Passo 2
Caso (a):
.
Logo
e não há nenhuma potência que anule todos os vetores (pois
nunca é zero). Concluímos que (a) não é nem idempotente nem nilpotente.
Passo 3
Caso (b):
.
Como
e nenhuma potência de
é o operador zero (ela apenas gera rotações cíclicas), (b) não é nem idempotente nem nilpotente.
Passo 4
Caso (c):
.
Logo
, ou seja,
é idempotente. Não é nilpotente pois não existe
tal que
(vetores com primeira e terceira componentes não nulas permanecem não nulos).
Resposta
(a) nenhuma das duas.
(b) nenhuma das duas.
(c) idempotente.
(b) nenhuma das duas.
(c) idempotente.