Verifique se os seguintes operadores lineares do R^{3} são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas propriedades.
4°) a) F(x, y, z)=(-x,-y,-z)
b) F(x, y, z)=(z, x, y)
c) F(x, y, z)=(x, 0, z)

Passo 1

O enunciado pede para cada operador linear F\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 verificar se
  1. é idempotente, ou seja, se
F^2 = F,
  1. é nilpotente, ou seja, se existe algum k\in\mathbb{N} tal que
F^k = 0,
ou nenhuma das duas propriedades. A estratégia é calcular F^2 (e, se necessário, potências maiores) e comparar com F e com o operador zero.

Passo 2

Caso (a): F(x,y,z)=(-x,-y,-z).
F^2(x,y,z)=F\bigl(-x,-y,-z\bigr)=\bigl(-(-x),-(-y),-(-z)\bigr)=(x,y,z).
Logo F^2=I\neq F e não há nenhuma potência que anule todos os vetores (pois F^2=I nunca é zero). Concluímos que (a) não é nem idempotente nem nilpotente.

Passo 3

Caso (b): F(x,y,z)=(z,x,y).
F^2(x,y,z)=F(z,x,y)=(y,z,x),
F^3(x,y,z)=F(y,z,x)=(x,y,z)=I.
Como F^2\neq F e nenhuma potência de F é o operador zero (ela apenas gera rotações cíclicas), (b) não é nem idempotente nem nilpotente.

Passo 4

Caso (c): F(x,y,z)=(x,0,z).
F^2(x,y,z)=F\bigl(x,0,z\bigr)=(x,0,z)=F(x,y,z).
Logo F^2=F, ou seja, F é idempotente. Não é nilpotente pois não existe k tal que F^k=0 (vetores com primeira e terceira componentes não nulas permanecem não nulos).

Resposta

(a) nenhuma das duas.
(b) nenhuma das duas.
(c) idempotente.

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