[6.] Utilizando o teorema de Existência e Unicidade, mostre que a função \varphi \equiv 0 é a única solução do PVI,
y^{\prime \prime}+e^{x} y^{\prime}+(x+1) y=0, \quad y(1)=0, \quad y^{\prime}(1)=0

Passo 1

Listando claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
  • A equação diferencial dada é
y'' + e^{x} y' + (x+1) y = 0.
  • As condições iniciais são
y(1)=0,\qquad y'(1)=0.
  • O enunciado pede: mostrar que a função \varphi\equiv 0 (isto é, a função identicamente zero) é a solução e que é a única solução do problema de valor inicial (PVI) acima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os coeficientes e^{x} e x+1 são funções contínuas para todo x\in\mathbb{R} (portanto, em um intervalo que contenha x=1).

Passo 2

Verificar que \varphi\equiv 0 é uma solução do PVI (checagem direta):
  • Se \varphi(x)\equiv 0, então \varphi'(x)\equiv 0 e \varphi''(x)\equiv 0.
  • Substituindo na equação diferencial:
0 + e^{x}\cdot 0 + (x+1)\cdot 0 = 0.
  • As condições iniciais também são satisfeitas, pois \varphi(1)=0 e \varphi'(1)=0.
Portanto, \varphi\equiv 0 é, de fato, uma solução do PVI.

Passo 3

Enunciando e explicando o teorema de existência e unicidade que vamos usar (em forma prática e intuitiva):
  • Teorema (forma para sistemas de primeira ordem / Picard–Lindelöf, versão útil): se tivermos um sistema
u' = f(x,u),
com condição inicial u(x_0)=u_0, e se f(x,u) for contínua em x e Lipschitz em u numa vizinhança de (x_0,u_0), então existe um único (localmente) solução u(x) passando por (x_0,u_0).
  • O que significa "Lipschitz em u"? Significa que existe uma constante L tal que, para todos os x no intervalo considerado e para todos u,v na vizinhança,
\|f(x,u)-f(x,v)\|\le L\,\|u-v\|.
Isto garante que pequenas diferenças nas condições iniciais não geram múltiplas soluções — é a condição chave para unicidade.
  • Por que essa versão serve para nossa equação de segunda ordem? Porque toda equação de segunda ordem pode ser reescrita como um sistema de primeira ordem (redução de ordem), e então aplicamos o teorema ao sistema.

Passo 4

Redução do PVI a um sistema de primeira ordem e análise das hipóteses do teorema:
  • Definir as variáveis de estado
u_1(x)=y(x),\qquad u_2(x)=y'(x).
  • Então o sistema equivalente é
\begin{cases} u_1' = u_2,\\[4pt] u_2' = -e^{x} u_2 - (x+1) u_1. \end{cases}
Em forma vetorial, com u=(u_1,u_2)^T,
u' = A(x)\,u,
onde
A(x)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -(x+1) & -e^{x}\end{pmatrix}.
  • A condição inicial fica
u(1) = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Agora verificamos as hipóteses do teorema para f(x,u)=A(x)u:
  1. Continuidade em x: cada entrada de A(x) é contínua (pois 0,1 são constantes, x+1 é contínua e e^{x} é contínua). Logo f(x,u) é contínua em x para todo u.
  2. Lipschitz em u: note que f é linear em u. Em qualquer intervalo compacto I contendo x=1 (por exemplo I=[1-\delta,1+\delta]), as entradas de A(x) são limitadas. Seja
M=\sup_{x\in I}\bigl(1+|x+1|+e^{x}\bigr),
que existe e é finito porque I é compacto e as funções envolvidas são contínuas. Usando a norma infinito para vetores (norma \|\cdot\|_{\infty}), para todo x\in I e todo u,v,
\|f(x,u)-f(x,v)\|_{\infty}=\|A(x)(u-v)\|_{\infty} \le\bigl(1+|x+1|+e^{x}\bigr)\,\|u-v\|_{\infty}\le M\,\|u-v\|_{\infty}.
Logo f é Lipschitz em u com constante L=M nesse intervalo.
  • Conclusão desta etapa: todas as hipóteses do teorema de existência e unicidade (para sistemas de primeira ordem) estão satisfeitas numa vizinhança de x=1.]

Passo 5

Aplicando o teorema e concluindo unicidade global do PVI:
  • Pelo teorema, existe uma solução única do sistema u'=A(x)u com u(1)=(0,0) (pelo menos localmente; como as funções são contínuas em toda \mathbb{R}, a solução estende-se enquanto desejarmos, mas a unicidade local já basta para o PVI).
  • Já verificamos no Passo 2 que a solução u(x)\equiv(0,0)^T (equivalente a y\equiv 0) satisfaz as equações e as condições iniciais.
  • Pela unicidade garantida pelo teorema, não pode existir outra solução distinta que satisfaça as mesmas condições iniciais em qualquer intervalo que contenha x=1. Portanto, \varphi\equiv 0 é a única solução do PVI.

Passo 6

Resumo final e uma observação amigável:
  • Resumindo: checamos que \varphi\equiv 0 é solução; transformamos a equação em um sistema linear com coeficientes contínuos; mostramos que a função do sistema é Lipschitz em u; aplicamos o teorema de existência e unicidade; assim concluímos que a solução do PVI é única e é a solução zero. Força aí — é exatamente esse tipo de raciocínio que cai fácil na prova: transformar para sistema e aplicar unicidade.

Resposta

A única solução do PVI é \varphi\equiv 0.

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