[6.] Utilizando o teorema de Existência e Unicidade, mostre que a função
é a única solução do PVI,
Passo 1
Listando claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
- A equação diferencial dada é
- As condições iniciais são
- O enunciado pede: mostrar que a função
(isto é, a função identicamente zero) é a solução e que é a única solução do problema de valor inicial (PVI) acima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os coeficientes
e são funções contínuas para todo (portanto, em um intervalo que contenha ).
Passo 2
Verificar que
é uma solução do PVI (checagem direta):
- Se
, então e . - Substituindo na equação diferencial:
- As condições iniciais também são satisfeitas, pois
e .
Portanto,
é, de fato, uma solução do PVI.
Passo 3
Enunciando e explicando o teorema de existência e unicidade que vamos usar (em forma prática e intuitiva):
- Teorema (forma para sistemas de primeira ordem / Picard–Lindelöf, versão útil): se tivermos um sistema
com condição inicial
, e se
for contínua em
e Lipschitz em
numa vizinhança de
, então existe um único (localmente) solução
passando por
.
- O que significa "Lipschitz em
"? Significa que existe uma constante tal que, para todos os no intervalo considerado e para todos na vizinhança,
Isto garante que pequenas diferenças nas condições iniciais não geram múltiplas soluções — é a condição chave para unicidade.
- Por que essa versão serve para nossa equação de segunda ordem? Porque toda equação de segunda ordem pode ser reescrita como um sistema de primeira ordem (redução de ordem), e então aplicamos o teorema ao sistema.
Passo 4
Redução do PVI a um sistema de primeira ordem e análise das hipóteses do teorema:
- Definir as variáveis de estado
- Então o sistema equivalente é
Em forma vetorial, com
,
onde
- A condição inicial fica
Agora verificamos as hipóteses do teorema para
:
-
Continuidade em
: cada entrada de é contínua (pois são constantes, é contínua e é contínua). Logo é contínua em para todo . -
Lipschitz em
: note que é linear em . Em qualquer intervalo compacto contendo (por exemplo ), as entradas de são limitadas. Seja
que existe e é finito porque
é compacto e as funções envolvidas são contínuas. Usando a norma infinito para vetores (norma
), para todo
e todo
,
Logo
é Lipschitz em
com constante
nesse intervalo.
- Conclusão desta etapa: todas as hipóteses do teorema de existência e unicidade (para sistemas de primeira ordem) estão satisfeitas numa vizinhança de
.]
Passo 5
Aplicando o teorema e concluindo unicidade global do PVI:
-
Pelo teorema, existe uma solução única do sistema
com (pelo menos localmente; como as funções são contínuas em toda , a solução estende-se enquanto desejarmos, mas a unicidade local já basta para o PVI). -
Já verificamos no Passo 2 que a solução
(equivalente a ) satisfaz as equações e as condições iniciais. -
Pela unicidade garantida pelo teorema, não pode existir outra solução distinta que satisfaça as mesmas condições iniciais em qualquer intervalo que contenha
. Portanto, é a única solução do PVI.
Passo 6
Resumo final e uma observação amigável:
- Resumindo: checamos que
é solução; transformamos a equação em um sistema linear com coeficientes contínuos; mostramos que a função do sistema é Lipschitz em ; aplicamos o teorema de existência e unicidade; assim concluímos que a solução do PVI é única e é a solução zero. Força aí — é exatamente esse tipo de raciocínio que cai fácil na prova: transformar para sistema e aplicar unicidade.
Resposta
A única solução do PVI é
.