*2.60. Determine o ângulo coordenado \gamma para \mathbf{F}_{2} e depois expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o ângulo coordenado \gamma para \mathbf{F}_{2}; (2) expressar cada força que atua sobre o suporte como vetor cartesiano.
Informações relevantes que deveriam vir do enunciado/figura e que neste texto NÃO foram fornecidas:
  • a direção de \mathbf{F}_{2}, tipicamente dada por dois pontos que definem a reta de atuação (por exemplo pontos A(x_A,y_A) e B(x_B,y_B)) ou por um ângulo já conhecido;
  • a magnitude de \mathbf{F}_{2} (por exemplo F_2 em N) e as magnitudes das demais forças que atuam no suporte;
  • as posições/ângulos das outras forças aplicadas ao suporte (se houver), ou a identificação dos vetores que precisam ser expressos.
Sem a figura ou esses dados numéricos/geométricos não é possível obter valores numéricos para \gamma nem para os componentes cartesianas das forças. A seguir explico passo a passo como proceder na prova assim que esses dados estiverem disponíveis.

Passo 2

Como obter \gamma a partir de duas coordenadas (método mais comum).
Se a força \mathbf{F}_2 atua ao longo da reta que passa por dois pontos A(x_A,y_A) e B(x_B,y_B), definir
\Delta x = x_B - x_A,\qquad \Delta y = y_B - y_A.
O ângulo coordenado \gamma medido a partir do eixo +x (no sentido anti-horário) é dado por
\gamma=\operatorname{atan2}(\Delta y,\Delta x).
Explicação didática:
  • \Delta x é a variação em x entre os dois pontos; \Delta y é a variação em y.
  • \operatorname{atan2} é a função arco-tangente que leva em conta o sinal de \Delta x e \Delta y para colocar \gamma no quadrante correto (evita ambiguidade de \arctan(\Delta y/\Delta x)).
  • Em provas às vezes usam \gamma=\arctan\!\big(\tfrac{\Delta y}{\Delta x}\big) com um ajuste de 0,\pi conforme os sinais; saber usar \operatorname{atan2} é mais seguro.

Passo 3

Como passar de \gamma e magnitude para o vetor cartesiano de \mathbf{F}_2.
Se a magnitude da força for F_2 (um número positivo) e o ângulo for \gamma, a representação em componentes é
\mathbf{F}_2 = \langle F_{2x},\,F_{2y}\rangle = \big\langle F_2\cos\gamma,\;F_2\sin\gamma\big\rangle.
Se a direção for dada por pontos A e B, usar o vetor unitário na direção A\to B:
L=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},\qquad \mathbf{\hat{u}}=\Big\langle \frac{\Delta x}{L},\;\frac{\Delta y}{L}\Big\rangle,
então
\mathbf{F}_2 = F_2\,\mathbf{\hat{u}} = \Big\langle F_2\frac{\Delta x}{L},\;F_2\frac{\Delta y}{L}\Big\rangle.
Explicação das variáveis:
  • F_2 = magnitude da força (em N);
  • F_{2x} e F_{2y} = componentes ao longo dos eixos x e y;
  • L = comprimento do vetor entre os pontos, usado para normalizar;
  • \mathbf{\hat{u}} = vetor unitário na direção da força.

Passo 4

Como expressar “cada força que atua sobre o suporte” como vetor cartesiano (passo a passo geral para a prova).
Para cada força i com magnitude F_i e direção \gamma_i:
  1. calcule \gamma_i por \gamma_i=\operatorname{atan2}(\Delta y_i,\Delta x_i) se a direção vier de dois pontos;
  2. calcule os componentes
\mathbf{F}_i=\big\langle F_i\cos\gamma_i,\;F_i\sin\gamma_i\big\rangle.
Se, no problema, o suporte sofre reações \mathbf{R}=\langle R_x,R_y\rangle e as forças aplicadas conhecidas são \mathbf{F}_1,\mathbf{F}_2,\dots, para equilíbrio estático (se aplicável) use
\sum F_x = 0 \Rightarrow R_x + \sum_i F_{i,x}=0, \qquad \sum F_y = 0 \Rightarrow R_y + \sum_i F_{i,y}=0,
logo as componentes da reação (quando só há força resultante no suporte) são
R_x = -\sum_i F_{i,x},\qquad R_y = -\sum_i F_{i,y}.
Dica didática: calcule e escreva cada componente separadamente; preserve sinais (positivo para +x/+y, negativo caso contrário).

Passo 5

Casos especiais e cuidados práticos (úteis na prova)
  • Se \Delta x=0 (linha vertical), então \gamma=\tfrac{\pi}{2} ou -\tfrac{\pi}{2} dependendo do sinal de \Delta y; componentes ficam \langle 0,\pm F_2\rangle.
  • Se \Delta y=0 (linha horizontal), então \gamma=0 ou \pi; componentes \langle \pm F_2,0\rangle.
  • Sempre indicar se o ângulo está em radianos ou graus conforme pedido.
  • Use \operatorname{atan2} para evitar erros de quadrante; se usar \arctan faça ajuste de \pi quando \Delta x<0.

Passo 6

Exemplo ilustrativo (não é o seu exercício; serve para treinar a técnica).
Suponha que a força \mathbf{F}_2 tem magnitude F_2=150 (unidades) e atua ao longo da reta de A(0,0) para B(2,1). Então:
\Delta x=2,\quad \Delta y=1,\quad L=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}.
\gamma=\operatorname{atan2}(1,2)\approx 0{,}46365\\ \text{rad}\approx 26{,}565^\circ.
Componentes:
\mathbf{F}_2 = \Big\langle 150\frac{2}{\sqrt{5}},\;150\frac{1}{\sqrt{5}}\Big\rangle = \langle 134{,}16,\;67{,}08\rangle\\ \text{(aprox.)}.
Isto mostra exatamente o procedimento que deve ser aplicado ao seu problema real assim que os pontos e magnitudes forem conhecidos.

Resposta

Não é possível determinar numericamente \gamma nem os vetores cartesianos sem a figura ou os dados (coordenadas e magnitudes). Geralmente, com pontos A(x_A,y_A), B(x_B,y_B) e magnitude F_2,
\gamma=\operatorname{atan2}(y_B-y_A,\;x_B-x_A), \qquad \mathbf{F}_2= \Big\langle F_2\frac{x_B-x_A}{\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}},\;F_2\frac{y_B-y_A}{\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}\Big\rangle.

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