3.40* Dado que o comprimento de onda da luz no vácuo é 540 nm , qual será seu comprimento de onda na água, onde n=1,33 ?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (sem resolver ainda):
  • Dado: o comprimento de onda da luz no vácuo é \lambda_{0}=540\\ \text{nm}.
  • Dado: índice de refração da água n=1,33.
  • Pedido: determinar o comprimento de onda da luz dentro da água, isto é \lambda no meio com índice n=1,33.

Passo 2

Conceitos essenciais que vou usar (explicados devagar e sem pressa).
  • A frequência da luz f não muda quando a luz passa de um meio para outro. Isso vem da continuidade temporal da oscilação do campo elétrico/magnético no limite da superfície: as cristas chegam com a mesma cadência.
  • Relação fundamental entre velocidade v, comprimento de onda \lambda e frequência f é
v = \lambda\, f.
Aqui:
  • v é a velocidade da luz no meio,
  • \lambda é o comprimento de onda no meio,
  • f é a frequência (a mesma em todos os meios).
  • No vácuo, a velocidade da luz é c e o comprimento de onda correspondente é \lambda_{0}, com
c = \lambda_{0}\, f.
  • O índice de refração n de um meio é definido por
n = \frac{c}{v}.
Isso significa que a luz anda mais devagar no meio: v = c/n.

Passo 3

Derivação da fórmula prática para o comprimento de onda no meio.
  • Começando de v=\lambda f e de c=\lambda_{0} f, e lembrando que v=c/n, temos:
\lambda = \frac{v}{f} = \frac{c/n}{f} = \frac{c}{f}\cdot\frac{1}{n} = \frac{\lambda_{0}}{n}.
  • Portanto a relação simples que vamos usar é
\lambda = \frac{\lambda_{0}}{n},
onde \lambda_{0} é o comprimento de onda no vácuo e n é o índice de refração do meio.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos números do enunciado e fazendo a conta passo a passo (sem pular etapas).
  • Substituindo \lambda_{0}=540\\ \text{nm} e n=1,33,
\lambda = \frac{540\\ \text{nm}}{1,33}.
  • Para dividir sem calculadora, multiplicar numerador e denominador por 100
\lambda = \frac{54000}{133}\\ \text{nm}.
  • Fazer a divisão inteira: 133\times 406 = 53998. Portanto
\frac{54000}{133} = 406 + \frac{2}{133}.
  • A fração \dfrac{2}{133} vale aproximadamente 0,0150376\ldots. Assim
\lambda \approx 406,0150376\\ \text{nm}.
  • Arredondando sensatamente (dados iniciais têm três algarismos significativos), pode-se dar a resposta com três algarismos: \lambda \approx 406,0\\ \text{nm}.

Passo 5

Interpretação física rápida e incentivo:
  • O resultado mostra que o comprimento de onda diminui ao entrar na água (era \,540\\ \text{nm} no vácuo e fica \sim 406\\ \text{nm} na água), enquanto a frequência permaneceu a mesma — isso é algo para lembrar na prova.
  • Você está indo bem — respira fundo, revisa esses passos e repete com outros valores para fixar. Dá pra fazer na prova!

Resposta

406,0\\ \text{nm}

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