( ) 60. A Equação da Difusão de Calor permite o conhecimento da distribuição de temperaturas em corpos sólidos como função do espaço e do tempo. De posse de tal equação, quais os passos devem ser seguidos para a obtenção da solução esperada?
Passo 1
O enunciado nos lembra a equação da difusão de calor, também chamada equação de calor, que em sua forma mais simples é
onde
é a temperatura,
é o tempo,
é a difusividade térmica e
é o laplaciano espacial. Para encontrar a solução
precisamos definir o domínio espacial, as condições de contorno (CC) e a condição inicial (CI).
Passo 2
Definir claramente o domínio espacial e as condições de contorno. Por exemplo, em uma barra unidimensional
podemos ter:
– CC de Dirichlet: ,
.
– CC de Neumann: , etc.
Estas CC determinam os autovalores e autovetores do problema.
– CC de Dirichlet:
– CC de Neumann:
Estas CC determinam os autovalores e autovetores do problema.
Passo 3
Especificar a condição inicial, isto é, a distribuição de temperatura no corpo em
:
Essa função será expandida na base de autovetores que obtivermos das CC.
Passo 4
Escolher um método de solução adequado. O mais comum é separação de variáveis, assumindo
Substituindo na PDE gera duas EDOs acopladas:
onde
é constante de separação.
Passo 5
Resolver a parte espacial
sujeita às CC. Isso fornece os autovalores
e autovetores
. Cada
define também uma solução temporal
Passo 6
Construir a solução geral por superposição:
Os coeficientes
são determinados impondo a condição inicial via desenvolvimento de Fourier:
Passo 7
Calcular explicitamente cada
usando ortogonalidade dos
:
Isso completa a solução
.
Passo 8
Verificar a convergência da série e checar se a solução satisfaz as CC e CI. Se necessário, adaptar o método (por transformadas integrais, método de imagem, numérico etc.) para geometrias ou CC mais complexas.
Resposta
- Formular a PDE e identificar
. - Especificar condições de contorno.
- Definir condição inicial
. - Adotar método (p.ex. separação de variáveis).
- Resolver problema de autovalores na parte espacial.
- Escrever solução como série de autovetores com decaimento exponencial.
- Determinar coeficientes pela expansão da condição inicial.
- Checar consistência e adaptar o método conforme necessidade.