( ) 60. A Equação da Difusão de Calor permite o conhecimento da distribuição de temperaturas em corpos sólidos como função do espaço e do tempo. De posse de tal equação, quais os passos devem ser seguidos para a obtenção da solução esperada?

Passo 1

O enunciado nos lembra a equação da difusão de calor, também chamada equação de calor, que em sua forma mais simples é
\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u,
onde u é a temperatura, t é o tempo, \alpha é a difusividade térmica e \nabla^2 é o laplaciano espacial. Para encontrar a solução u(\mathbf{x},t) precisamos definir o domínio espacial, as condições de contorno (CC) e a condição inicial (CI).

Passo 2

Definir claramente o domínio espacial e as condições de contorno. Por exemplo, em uma barra unidimensional (0\le x\le L) podemos ter:
– CC de Dirichlet: u(0,t)=T_1, u(L,t)=T_2.
– CC de Neumann: \partial u/\partial x|_{x=0}=q_0, etc.
Estas CC determinam os autovalores e autovetores do problema.

Passo 3

Especificar a condição inicial, isto é, a distribuição de temperatura no corpo em t=0:
u(x,0) = f(x).
Essa função será expandida na base de autovetores que obtivermos das CC.

Passo 4

Escolher um método de solução adequado. O mais comum é separação de variáveis, assumindo
u(x,t) = X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE gera duas EDOs acopladas:
\frac{1}{\alpha T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} = -\lambda,
onde \lambda é constante de separação.

Passo 5

Resolver a parte espacial
\frac{d^2X}{dx^2} + \lambda X = 0
sujeita às CC. Isso fornece os autovalores \lambda_n e autovetores X_n(x). Cada \lambda_n define também uma solução temporal
T_n(t) = A_n e^{-\alpha \lambda_n t}.

Passo 6

Construir a solução geral por superposição:
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n X_n(x)\,e^{-\alpha \lambda_n t}.
Os coeficientes A_n são determinados impondo a condição inicial via desenvolvimento de Fourier:
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n X_n(x).

Passo 7

Calcular explicitamente cada A_n usando ortogonalidade dos X_n:
A_n = \frac{\displaystyle \int_{0}^{L} f(x)\,X_n(x)\,dx}{\displaystyle \int_{0}^{L} [X_n(x)]^2 dx}.
Isso completa a solução u(x,t).

Passo 8

Verificar a convergência da série e checar se a solução satisfaz as CC e CI. Se necessário, adaptar o método (por transformadas integrais, método de imagem, numérico etc.) para geometrias ou CC mais complexas.

Resposta

  1. Formular a PDE e identificar \alpha.
  2. Especificar condições de contorno.
  3. Definir condição inicial u(x,0)=f(x).
  4. Adotar método (p.ex. separação de variáveis).
  5. Resolver problema de autovalores na parte espacial.
  6. Escrever solução como série de autovetores com decaimento exponencial.
  7. Determinar coeficientes pela expansão da condição inicial.
  8. Checar consistência e adaptar o método conforme necessidade.

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