( ) 62. Uma barra metálica possui diferentes temperaturas em cada uma de suas duas extremidades. É possível determinar a distribuição de temperaturas no corpo para regime permanente? Em caso negativo, diga por que não é possível.

Passo 1

O enunciado dá uma barra metálica homogênea, de comprimento L, cujas extremidades estão mantidas em temperaturas diferentes, digamos
T(0)=T_a
e
T(L)=T_b.
Pede-se a distribuição de temperatura no regime permanente (isto é, quando a temperatura já não varia no tempo). O conteúdo necessário é a condução de calor unidimensional sem geração interna, levando à equação de Laplace em 1D.

Passo 2

Em regime permanente e sem geração interna, a temperatura satisfaz
\frac{\partial T}{\partial t}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^2T}{dx^2}=0.
Aqui estamos assumindo condutividade térmica constante e isolamento lateral da barra, de forma que todo o fluxo seja ao longo do eixo x.

Passo 3

Integrando duas vezes
\frac{d^2T}{dx^2}=0
obtemos a solução geral
T(x)=A\,x + B,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 4

Impondo
T(0)=T_a\quad\Longrightarrow\quad B=T_a,
T(L)=T_b\quad\Longrightarrow\quad A\,L + B = T_b \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{T_b - T_a}{L}.
Logo a distribuição de temperatura no regime permanente é
T(x)=T_a + \frac{T_b - T_a}{L}\,x.

Resposta

A distribuição de temperaturas no regime permanente é
T(x)=T_a + \bigl(T_b - T_a\bigr)\frac{x}{L},
ou seja, varia linearmente de T_a em x=0 até T_b em x=L.

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