( ) 62. Uma barra metálica possui diferentes temperaturas em cada uma de suas duas extremidades. É possível determinar a distribuição de temperaturas no corpo para regime permanente? Em caso negativo, diga por que não é possível.
Passo 1
O enunciado dá uma barra metálica homogênea, de comprimento
, cujas extremidades estão mantidas em temperaturas diferentes, digamos
e
Pede-se a distribuição de temperatura no regime permanente (isto é, quando a temperatura já não varia no tempo). O conteúdo necessário é a condução de calor unidimensional sem geração interna, levando à equação de Laplace em 1D.
Passo 2
Em regime permanente e sem geração interna, a temperatura satisfaz
Aqui estamos assumindo condutividade térmica constante e isolamento lateral da barra, de forma que todo o fluxo seja ao longo do eixo
.
Passo 3
Integrando duas vezes
obtemos a solução geral
onde
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Passo 4
Impondo
Logo a distribuição de temperatura no regime permanente é
Resposta
A distribuição de temperaturas no regime permanente é
ou seja, varia linearmente de
em
até
em
.