63 Certa noite, em que um show musical lotou uma praça circular de uma cidade, um jornal local noticiou que a ocupação média dos que foram “curtir” o som havia sido de 4 pessoas por metro quadrado. Nessas condições, sabendo que essa praça tem 49 m de raio e considerando \pi \simeq \frac{22}{7}, determine uma estimativa do número de pessoas presentes em tal show.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma estimativa do número de pessoas presentes:
  • Raio da praça: r=49\\ \text{m}.
  • Ocupação média: 4 pessoas por metro quadrado (ou seja, densidade =4\\ \text{pessoas}/\text{m}^2).
  • Aproximação para \pi: \pi\simeq\frac{22}{7}.
    O que se pede: estimar o número total de pessoas na praça usando esses dados.

Passo 2

Entender qual fórmula usar para transformar o raio da praça em área (porque a densidade está em pessoas por metro quadrado). A área A de um círculo é dada por:
A=\pi r^{2}
Explicando a fórmula de forma simples: A é a quantidade de medida de superfície do círculo; \pi é a constante que relaciona o raio com a área; r é o raio do círculo e r^{2} significa r multiplicado por si mesmo. Aqui todos os símbolos:
  • A: área da praça em \text{m}^2.
  • \pi: constante aproximada como \dfrac{22}{7}.
  • r: raio da praça em \text{m}.

Passo 3

Calcular r^{2}. Substituindo r=49\\ \text{m}:
r^{2}=49^{2}=2401.
Explanação do cálculo: 49\cdot49= (50-1)(50-1)=2500-50-50+1=2401. Então a unidade fica \text{m}^2.

Passo 4

Calcular a área usando a aproximação dada para \pi:
A=\pi r^{2}=\frac{22}{7}\cdot 2401.
Fazer a simplificação passo a passo: primeiro dividir 2401 por 7,
\frac{2401}{7}=343,
porque 7\cdot343=2401. Então
A=22\cdot 343.
Calcular 22\cdot343:
22\cdot343=22\cdot(300+40+3)=6600+880+66=7546.
Portanto a área estimada da praça é
A=7546\\ \text{m}^2.

Passo 5

Converter a área em número de pessoas usando a densidade dada. Se há 4 pessoas por \text{m}^2, o número total N é:
N=\text{densidade}\times A=4\cdot 7546.
Calcular 4\cdot7546:
4\cdot7546=4\cdot(7000+500+40+6)=28000+2000+160+24=30184.
Assim a estimativa do número de pessoas presentes é 30184.

Passo 6

Resumo final e observação rápida: usando \pi\simeq\frac{22}{7}, raio 49\\ \text{m} e densidade 4\\ \text{pessoas}/\text{m}^2, a conta dá 30184 pessoas. Como todos os valores (principalmente \pi) foram aproximados, esse valor é uma estimativa razoável para a situação dada — serve bem para a prova.

Resposta

30184\\ \text{pessoas}

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