63 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1-x}{x^{2}} é igual a
a) 0
b) 1 / 2
c) 1
d) 2
e) +\infty

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}
Esse tipo de limite apresenta forma indeterminada 0/0, então podemos usar a Regra de l’Hôpital (aplicando derivadas no numerador e denominador) ou o desenvolvimento em série de Taylor de e^x.

Passo 2

Verificamos que, ao substituir x=0, o numerador e o denominador vão a zero:
e^0 -1 -0 = 0, \quad 0^2 = 0.
Portanto é caso de 0/0 e aplicamos a Regra de l’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x.

Passo 3

Derivando pela primeira vez:
\frac{d}{dx}\bigl(e^x -1 - x\bigr) = e^x -1, \quad \frac{d}{dx}\bigl(x^2\bigr) = 2x.
O limite transforma-se em
\lim_{x\to0}\frac{e^x - 1}{2x},
que ainda é 0/0. Aplicamos a Regra de l’Hôpital mais uma vez.

Passo 4

Derivando de novo:
\frac{d}{dx}\bigl(e^x -1\bigr) = e^x, \quad \frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr) = 2.
Então o limite passa a ser
\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac12.

Resposta

b) \tfrac12

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