64 Seja f: R \rightarrow R tal que \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0. Pode-se afirmar que
a) \lim _{x \rightarrow 0} f:\left\{\frac{1}{x}\right\}=+\infty
b) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{f(x)}=+\infty
c) \lim _{x \rightarrow \infty} f:\left\{\frac{1}{x}\right\}=0
d) \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f\left\{\frac{1}{x}\right\}=+\infty
e) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{f(x)}=0

Passo 1

O enunciado dá uma função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} com
\lim_{x\to 0}f(x)=0
e pede para verificar quais dos seguintes limites são necessariamente verdadeiros:
\begin{aligned} \text{(a)}\;&\lim_{x\to 0}f\bigl(\tfrac1x\bigr)=+\infty,\\\ \text{(b)}\;&\lim_{x\to 0}\tfrac1{f(x)}=+\infty,\\\ \text{\text{(c)}}\;&\lim_{x\to \infty}f\bigl(\tfrac1x\bigr)=0,\\\ \text{(d)}\;&\lim_{x\to \infty}f\bigl(\tfrac1x\bigr)=+\infty,\\\ \text{(e)}\;&\lim_{x\to \infty}\tfrac1{f(x)}=0. \end{aligned}
O conteúdo envolvido é análise de limites de funções compostas e de funções recíprocas, usando o fato de que, se \lim_{u\to a}f(u)=L e \lim_{x\to c}g(x)=a, então \lim_{x\to c}f(g(x))=L.

Passo 2

Analisando (a):
\lim_{x\to 0}f\bigl(\tfrac1x\bigr).
Quando x\to0, o argumento 1/x\to\pm\infty. Mas não temos informação alguma sobre o comportamento de f em infinito. Logo, nada se pode concluir e a afirmação (a) é falsa.

Passo 3

Analisando (b):
\lim_{x\to 0}\tfrac1{f(x)}.
Sabemos que f(x)\to0, mas f(x) pode aproximar-se de zero por valores positivos ou negativos, ou até oscilar de sinal. Assim o recíproco pode tender a +\infty, a -\infty ou simplesmente não ter limite. Portanto (b) não se garante.

Passo 4

Analisando (c):
\lim_{x\to \infty}f\bigl(\tfrac1x\bigr).
Defina g(x)=\tfrac1x. Temos
\lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}\tfrac1x=0,
e por hipótese \lim_{u\to0}f(u)=0. Pelo teorema de limite de função composta,
\lim_{x\to\infty}f\bigl(\tfrac1x\bigr) =\lim_{u\to0}f(u) =0.
Logo (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando (d):
\lim_{x\to \infty}f\bigl(\tfrac1x\bigr)=+\infty.
Já vimos que esse limite vale 0, não +\infty. Então (d) é falsa.

Passo 6

Analisando (e):
\lim_{x\to \infty}\tfrac1{f(x)}.
Não há informação sobre \lim_{x\to\infty}f(x), logo não se pode afirmar que o recíproco tende a zero. (e) é falsa.

Resposta

(c) \displaystyle \lim_{x\to\infty}f\bigl(\tfrac1x\bigr)=0.

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