64 Seja
tal que
. Pode-se afirmar que
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá uma função
com
e pede para verificar quais dos seguintes limites são necessariamente verdadeiros:
O conteúdo envolvido é análise de limites de funções compostas e de funções recíprocas, usando o fato de que, se
e
, então
.
Passo 2
Analisando (a):
.
Quando , o argumento
. Mas não temos informação alguma sobre o comportamento de
em infinito. Logo, nada se pode concluir e a afirmação (a) é falsa.
Quando
Passo 3
Analisando (b):
.
Sabemos que , mas
pode aproximar-se de zero por valores positivos ou negativos, ou até oscilar de sinal. Assim o recíproco pode tender a
, a
ou simplesmente não ter limite. Portanto (b) não se garante.
Sabemos que
Passo 4
Analisando (c):
.
Defina . Temos
Defina
e por hipótese
. Pelo teorema de limite de função composta,
Logo (c) é verdadeira.
Passo 5
Analisando (d):
.
Já vimos que esse limite vale , não
. Então (d) é falsa.
Já vimos que esse limite vale
Passo 6
Analisando (e):
.
Não há informação sobre , logo não se pode afirmar que o recíproco tende a zero. (e) é falsa.
Não há informação sobre
Resposta
(c)
.