Um investimento em um projeto de \mathbf{R} \ \mathbf{2 0 0 . 0 0 0 , 0 0} rendeu\mathbf{8 %} no primeiro ano. No segundo ano, o montante total (capital inicial + rendimento do primeiro ano) rendeu12 %$. Qual foi a taxa de rendimento total acumulada sobre o investimento inicial após os dois anos?
a) 20,00 \%
b) 20,96 \%
c) 21,20 \%
d) 22,45 \%
e) 25,00 \%

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Capital inicial: R\$\,200.000,00.
  • Rendimento no primeiro ano: 8\%.
  • Rendimento no segundo ano: 12\%, aplicado sobre o montante ao início do segundo ano (ou seja, capital inicial + rendimento do primeiro ano).
O que é pedido:
  • A taxa de rendimento total acumulada sobre o investimento inicial após os dois anos (ou seja, a variação percentual total em relação ao capital inicial).

Passo 2

Ideia-chave (explicando de forma simples): rendimentos sucessivos são multiplicativos, não somam diretamente. Converter porcentagens em decimais e multiplicar pelos fatores de crescimento.
  • Converter taxa percentual para fator multiplicativo:
    • Uma taxa de 8\% corresponde ao fator 1+0{,}08=1{,}08.
    • Uma taxa de 12\% corresponde ao fator 1+0{,}12=1{,}12.
Regra geral para dois anos com taxas r_1 e r_2 (em decimais): o montante final é
M = C_0(1+r_1)(1+r_2).
A taxa acumulada total i_{\text{acum}} satisfaz
1+i_{\text{acum}}=(1+r_1)(1+r_2),
ou seja
i_{\text{acum}}=(1+r_1)(1+r_2)-1.

Passo 3

Calcular o montante ao final do primeiro ano:
O capital inicial é C_0=R\$\,200.000,00 e o fator do primeiro ano é 1{,}08. Então o montante após o primeiro ano é
M_1 = C_0\cdot 1{,}08.
Substituindo o valor de C_0:
M_1 = R\$\,200.000{,}00 \times 1{,}08 = R\$\,216.000{,}00.

Passo 4

Calcular o montante ao final do segundo ano:
O montante do segundo ano cresce pelo fator 1{,}12, portanto
M_2 = M_1 \cdot 1{,}12.
Substituindo M_1:
M_2 = R\$\,216.000{,}00 \times 1{,}12 = R\$\,241.920{,}00.

Passo 5

Calcular a taxa acumulada total i_{\text{acum}} em relação ao capital inicial C_0.
Usando a definição de taxa acumulada:
i_{\text{acum}}=\frac{M_2-C_0}{C_0}.
Substituindo os valores numéricos:
i_{\text{acum}}=\frac{R\$\,241.920{,}00 - R\$\,200.000{,}00}{R\$\,200.000{,}00}=\frac{R\$\,41.920{,}00}{R\$\,200.000{,}00}.
Fazendo a divisão:
i_{\text{acum}}=0{,}2096.
Convertendo para porcentagem:
i_{\text{acum}}=20{,}96\%.
Observação didática rápida: usando a fórmula direta de antes,
i_{\text{acum}}=(1+0{,}08)(1+0{,}12)-1=1{,}08\times1{,}12-1=1{,}2096-1=0{,}2096,
o mesmo resultado. Note que 8\%+12\%=20\% é apenas uma soma aritmética; o acúmulo correto dá 20{,}96\% por causa da composição.

Resposta

b) 20{,}96\%

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