64 (Fuvest-SP) Duas pessoas A e B disputam 100 partidas de um jogo. Cada vez que A vence uma partida, recebe 20 reais de B, e cada vez que B vence, recebe 30 reais de A .
a) Qual o prejuízo de A se vencer 51 e perder 49 partidas?
b) Quantas partidas A deverá ganhar para ter lucro?

Passo 1

Resumindo, A e B disputam 100 partidas; se A vence recebe 20 reais de B e, se A perde, paga 30 reais a B. Vamos chamar de x o número de vitórias de A, de modo que ele perde 100 - x vezes. Precisamos calcular o ganho líquido de A em função de x.

Passo 2

O ganho total de A pelas vitórias é 20x e a perda total por derrotas é 30(100 - x). Logo, o ganho líquido G(x) de A é
G(x) = 20x - 30(100 - x).
Desenvolvendo, obtemos
G(x) = 20x - 3000 + 30x = 50x - 3000.

Passo 3

Para x = 51, o ganho líquido vale
G(51) = 50 \cdot 51 - 3000 = 2550 - 3000 = -450.
Portanto, A tem prejuízo de 450 reais.

Passo 4

Para A obter lucro, precisamos de G(x) > 0:
50x - 3000 > 0 \quad\Longrightarrow\quad 50x > 3000 \quad\Longrightarrow\quad x > 60.
Como x é inteiro, A deve vencer pelo menos 61 partidas.

Resposta

a) Prejuízo de 450 reais.
b) A deve ganhar no mínimo 61 partidas para ter lucro.

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